حل التكليف الثاني: مقرر الجبر (الوحدة الثانية)

المهمة 1: العمليات على الدوال وتركيبها

معطى لدينا الدالتان f: R → R و g: R → R المعرفتان كما يلي:

f(x) = 2x + 1   |   g(x) = 3x + 1

1. حساب العمليات الجبرية وتركيب الدوال خطوة بخطوة:

• حاصل ضرب الدالتين (fg)(x):
  (fg)(x) = f(x) . g(x) = (2x + 1)(3x + 1)
  بفك الأقواس وتوزيع الحدود: (2x . 3x) + (2x . 1) + (1 . 3x) + (1 . 1) = 6x² + 5x + 1
• قسمة الدالة f على g أي (f/g)(x):
  (f/g)(x) = f(x) / g(x) = (2x + 1) / (3x + 1) (بشرط 3x + 1 ≠ 0)
• تركيب الدالة f مع g أي (f ˆ g)(x):
  (f ˆ g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 1) = 2(3x + 1) + 1 = 6x + 2 + 1 = 6x + 3
• تركيب الدالة g مع f أي (g ˆ f)(x):
  (g ˆ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = 3(2x + 1) + 1 = 6x + 3 + 1 = 6x + 4

2. المقارنة بين fg و (f ˆ g) و (g ˆ f):

نتائج العمليات الجبرية غير متساوية؛ دالة الضرب (fg)(x) = 6x² + 5x + 1 دالة تربيعية، بينما تركيب الدوال يعطي دوالاً خطية مختلفة: (f ˆ g)(x) = 6x + 3 و (g ˆ f)(x) = 6x + 4. يرجع ذلك لكون الضرب يضرب المخرجات ببعضها، بينما التركيب يطبق دالة داخل أخرى، مما يثبت أن تركيب الدوال عملية غير تبادلية.

3. جدول المجال والمدى لكل عملية وشرح الاستخراج:

شرح الاستخراج: دالة الضرب كثير حدود مجالها R ومدادها يبدأ من القيمة الصغرى لرأس المنحنى (-1/24). دالة القسمة كسرية فيُستثنى من مجالها أصفار المقام (x = -1/3) ومن مداها خط التقارب الأفقي (y = 2/3). أما الدوال المركبة فخطية ومجالها ومدادها جميع الأعداد الحقيقية.

المهمة 2: إيجاد الدالة العكسية (نظام التحكم المناخي)

معادلة التحكم في درجة الحرارة: T(C) = √((20C + 15) / (15C + 16))

1. عزل المتغير C وتحديد الدالة العكسية خطوة بخطوة:

1. كتابة المعادلة: T = √((20C + 15) / (15C + 16))
2. تربيع الطرفين: T² = (20C + 15) / (15C + 16)
3. الضرب التبادلي: T²(15C + 16) = 20C + 15 ⇒ 15C T² + 16 T² = 20C + 15
4. تجميع حدود C: 15C T² - 20C = 15 - 16 T²
5. عامل مشترك: C(15T² - 20) = 15 - 16 T²
6. قسمة الطرفين للوصول للصيغة العكسية: C(T) = (16T² - 15) / (20 - 15T²)

2. القيود والاعتبارات العملية والفيزيائية للنظام:

• رياضياً: عدم تصفير المقام في الدالة العكسية (T ≠ √(4/3) ≈ 1.155°C)، واشتراط القيم الموجبة تحت الجذر T ≥ 0.
• فيزيائياً وعملياً: انحصار نسبة التحكم C بين 0% و100%، والنطاق التشغيلي البيئي للبيت الزجاجي (بين 15°C و35°C)، إضافة إلى تأخير استجابة أجهزة الحساسات.

المهمة 3: التحويلات البيانية

الدالة المرجعية الأصلية: f(x) = x^(1/5)

1. جدول الشرح البياني للتحويلات الهندسية:

2. أماكن إدراج الرسوم البيانية وأوامر GeoGebra المطلوبة:

الدالة المطلوبة في GeoGebra: f(x) = x^(1/5) و g(x) = x^(1/5) + 6
النتيجة والتوضيح: يوضح الشكل إزاحة رأسية للمنحنى إلى الأعلى بمقدار 6 وحدات.

الدالة المطلوبة في GeoGebra: f(x) = x^(1/5) و h(x) = x^(1/5) - 6
النتيجة والتوضيح: يوضح الشكل إزاحة رأسية للمنحنى إلى الأسفل بمقدار 6 وحدات.

الدالة المطلوبة في GeoGebra: f(x) = x^(1/5) و p(x) = (50*x)^(1/5)
النتيجة والتوضيح: يوضح الشكل ضغطاً وانكماشاً أفقياً للمنحنى نحو المحور الرأسي بمقدار 50 ضِعفاً.

الدالة المطلوبة في GeoGebra: f(x) = x^(1/5) و q(x) = (x/50)^(1/5)
النتيجة والتوضيح: يوضح الشكل تمدداً ومطاً أفقياً للمنحنى مبتعداً عن المحور الرأسي بمقدار 50 ضِعفاً.

المهمة 4: تحليل الدوال الزوجية والفردية وتماثلها

دالة الإزاحة الميكانيكية: g(t) = (10t³) / (12t² + 53)

1. الاختبار الجبري لـ g(t):

نعوض بـ (-t) بدلاً من t:
g(-t) = (10(-t)³) / (12(-t)² + 53) = (-10t³) / (12t² + 53) = -g(t)
النتيجة: الدالة ليست زوجية بل دالة فردية (Odd Function) لأن g(-t) = -g(t).

2. الشرح البياني وتماثل الدالة:

الدالة المطلوبة في GeoGebra: g(t) = (10*t^3) / (12*t^2 + 53)
النتيجة والتوضيح: يوضح الرسم البياني دالة فردية ذات تماثل دوراني بمقدار 180° حول نقطة الأصل (Origin Symmetry).