1.3. Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (1)

Definicja

Postać:

y = ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c \in ℝ, a \neq 0

nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej.

Postać:

y = a(x - p) 2 + q, gdzie a, p, q \in ℝ, a \neq 0

nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.

Funkcję kwadratową nazywamy też trójmianem kwadratowym.

Ćwiczenie 1

Przeczytaj przykłady w ramce pokazujące, w jaki sposób przejść od postaci kanonicznej funkcji kwadratowej do postaci ogólnej.

Analiza przykładów z ramki:

y = 3(x - 4)² - 7 =
Wyjaśnienie [na chłopski rozum]: Najpierw rozpisujemy kwadrat różnicy ze wzoru skróconego mnożenia (a - b)² = a² - 2ab + b² dla wyrażenia (x - 4)².
= 3(x² - 8x + 16) - 7 =
Wyjaśnienie: Następnie mnożymy każdy składnik wewnątrz nawiasu przez liczbę znajdującą się przed nawiasem (3).
= 3x² - 24x + 48 - 7 =
Wyjaśnienie: Na koniec wykonujemy redukcję wyrazów podobnych (od 48 odejmujemy 7).
= 3x² - 24x + 41 — Otrzymaliśmy postać ogólną.
y = -4(x + 1/2)² + 1 =
Wyjaśnienie [na chłopski rozum]: Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (a + b)² = a² + 2ab + b².
= -4(x² + x + 1/4) + 1 =
Wyjaśnienie: Mnożymy każdy składnik w nawiasie przez -4.
= -4x² - 4x - 1 + 1 =
Wyjaśnienie: Redukujemy wyrazy wolne (-1 + 1 = 0, więc się kasują).
= -4x² - 4x — Otrzymaliśmy postać ogólną.

Treść Ćwiczenia 1: Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej.

y = -2(x - 3)² + 6
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Co robimy i po co: Rozwijamy kwadrat wyrażenia w nawiasie, aby pozbyć się potęgi.
2. Przekształcenie: $y = -2(x 2 - 6x + 9) + 6$ (Komentarz: kwadrat pierwszej liczby to x², podwojony iloczyn to -2 · x · 3 = -6x, kwadrat drugiej to (-3)² = 9).
3. Mnożenie przez współczynnik przed nawiasem: $y = -2x 2 + 12x - 18 + 6$
4. Redukcja wyrazów podobnych (-18 + 6 = -12): $y = -2x 2 + 12x - 12$
5. Wniosek: Otrzymaliśmy funkcję w postaci ogólnej.
y = -1/2(x + 1/2)² + 1/2
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Rozwijamy kwadrat sumy w nawiasie: $y = -1/2(x 2 + 2 \cdot x \cdot 1/2 + (1/2) 2) + 1/2$ $y = -1/2(x 2 + x + 1/4) + 1/2$
2. Mnożymy przez -1/2: $y = -1/2x 2 - 1/2x - 1/8 + 1/2$
3. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (-1/8 + 4/8 = 3/8): $y = -1/2x 2 - 1/2x + 3/8$
4. Wniosek: Otrzymaliśmy postać ogólną.
y = 3(x - 5)² + 9
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Rozwijamy kwadrat różnicy: (x - 5)² = x² - 10x + 25. $y = 3(x 2 - 10x + 25) + 9$
2. Mnożymy przez 3: $y = 3x 2 - 30x + 75 + 9$
3. Redukujemy wyrazy wolne (75 + 9 = 84): $y = 3x 2 - 30x + 84$
4. Wniosek: Otrzymaliśmy postać ogólną.

Przejście od postaci ogólnej do kanonicznej (Uzupełnienie do kwadratu):
Aby przejść od postaci ogólnej funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej, należy zastosować uzupełnienie do kwadratu.

Przykład 1
Przedstaw funkcję kwadratową w postaci kanonicznej.

y = x² + 6x + 10 =
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Co robimy i po co: Szukamy rozwinięcia wzoru skróconego mnożenia dla początkowych wyrazów x² + 6x. Połowa współczynnika przy x to 3.
2. Uzupełniamy do kwadratu dodając i odejmując 3² = 9: $= x 2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3 2 - 3 2 + 10 =$
3. Zwijamy pierwsze trzy wyrazy w zwinięty kwadrat sumy (x + 3)²: $= (x + 3) 2 - 9 + 10 =$
4. Porządkujemy końcówkę (-9 + 10 = 1): $= (x + 3) 2 + 1$
5. Wniosek: Otrzymaliśmy postać kanoniczną.
y = x² - x - 2 =
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Współczynnik przy x to -1. Połowa z niego to -1/2, a jej kwadrat to 1/4.
2. Dodajemy i odejmujemy 1/4: $= x 2 - x + 1/4 - 1/4 - 2 =$
3. Zwijamy początek we wzór (x - 1/2)²: $= (x - 1/2) 2 - 1/4 - 2 =$
4. Łączymy liczby (-1/4 - 8/4 = -9/4): $= (x - 1/2) 2 - 9/4$
5. Wniosek: Otrzymaliśmy postać kanoniczną.

Ćwiczenie 2
Przedstaw funkcję kwadratową w postaci kanonicznej. Podaj współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

y = x² + 6x + 6
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Połowa z 6 to 3, dodajemy i odejmujemy 3² = 9: $y = x 2 + 6x + 9 - 9 + 6$
2. Zwijamy do postaci kanonicznej: $y = (x + 3) 2 - 3$
3. Wniosek i wierzchołek: Wierzchołek paraboli to W = (-3, -3).
y = x² + 4x + 8
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Połowa z 4 to 2, dodajemy i odejmujemy 2² = 4: $y = x 2 + 4x + 4 - 4 + 8$
2. Zwijamy: $y = (x + 2) 2 + 4$
3. Wniosek i wierzchołek: Wierzchołek to W = (-2, 4).
y = x² - 6x - 2
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Połowa z -6 to -3, dodajemy i odejmujemy 9: $y = x 2 - 6x + 9 - 9 - 2$
2. Zwijamy: $y = (x - 3) 2 - 11$
3. Wniosek i wierzchołek: Wierzchołek to W = (3, -11).
y = x² - 8x + 1
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Połowa z -8 to -4, dodajemy i odejmujemy 16: $y = x 2 - 8x + 16 - 16 + 1$
2. Zwijamy: $y = (x - 4) 2 - 15$
3. Wniosek i wierzchołek: Wierzchołek to W = (4, -15).
y = x² + x + 1/4
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Wyrażenie jest już gotowym kwadratem sumy, ponieważ 1/4 = (1/2)²: $y = (x + 1/2) 2$
2. Wniosek i wierzchołek: Wierzchołek to W = (-1/2, 0).
y = x² - 3x + 1
Rozwiązanie krok po kroku:
1. Połowa z -3 to -3/2, kwadrat to 9/4: $y = x 2 - 3x + 9/4 - 9/4 + 1$
2. Zwijamy: $y = (x - 3/2) 2 - 5/4$
3. Wniosek i wierzchołek: Wierzchołek to W = (3/2, -5/4).

Wykresem funkcji kwadratowej f(x) = a(x - p)² + q jest parabola o wierzchołku (p, q). Współrzędne wierzchołka paraboli oznaczamy także (x_w, y_w).

Twierdzenie

Parabola y = ax² + bx + c ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych:

x w = -b / (2a), y w = -Δ / (4a)

gdzie Δ = b² - 4ac, a ≠ 0. Wyrażenie Δ nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

Dowód:
Przeprowadzamy uzupełnienie do kwadratu na ogólnym wzorze:
y = ax² + bx + c = a(x² + b/a x) + c = a(x² + 2 · b/(2a) x + (b/(2a))² - (b/(2a))²) + c =
= a(x + b/(2a))² - b²/(4a) + c = a(x + b/(2a))² - (b² - 4ac)/(4a) = a(x + b/(2a))² - Δ/(4a)
Otrzymana postać to postać kanoniczna, w której p = -b/(2a) oraz q = -Δ/(4a), co kończy dowód.

Przykład 2
Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego y = -x² + 5x - 2.

Rozwiązanie krok po kroku:

Odczytujemy współczynniki: a = -1, b = 5, c = -2.
Podstawiamy do wzoru na deltę Δ = b² - 4ac: $Δ = 5 2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 25 - 8 = 17$
Wniosek: Wyróżnik trójmianu wynosi 17.

Ćwiczenie 3
Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego.

y = x² + 3x + 1
Rozwiązanie: a = 1, b = 3, c = 1 ⟹ Δ = 3² - 4 · 1 · 1 = 9 - 4 = 5.
y = 2x² + 4x + 1
Rozwiązanie: a = 2, b = 4, c = 1 ⟹ Δ = 4² - 4 · 2 · 1 = 16 - 8 = 8.
y = x² - 4x + 4
Rozwiązanie: a = 1, b = -4, c = 4 ⟹ Δ = (-4)² - 4 · 1 · 4 = 16 - 16 = 0.
y = -2x² + 6x - 6
Rozwiązanie: a = -2, b = 6, c = -6 ⟹ Δ = 6² - 4 · (-2) · (-6) = 36 - 48 = -12.
y = -2x² + 4
Rozwiązanie: a = -2, b = 0, c = 4 ⟹ Δ = 0² - 4 · (-2) · 4 = 0 + 32 = 32.
y = 2x² - 3x
Rozwiązanie: a = 2, b = -3, c = 0 ⟹ Δ = (-3)² - 4 · 2 · 0 = 9 - 0 = 9.

1.4. Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (2)

Przykład 1
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli y = -x² + 6x - 5. Naszkicuj tę parabolę.

Rozwiązanie krok po kroku:

Odczytujemy współczynniki: a = -1, b = 6, c = -5.
Liczymy współrzędną x_w ze wzoru x_w = -b / (2a): $x w = -6 / (2 \cdot (-1)) = -6 / -2 = 3$
Liczymy wyróżnik Δ: $Δ = 6 2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 36 - 20 = 16$
Liczymy współrzędną y_w ze wzoru y_w = -Δ / (4a): $y w = -16 / (4 \cdot (-1)) = -16 / -4 = 4$
Wniosek: Wierzchołek paraboli to punkt W = (3, 4). Postać kanoniczna: y = -(x - 3)² + 4.

Ćwiczenie 1
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, a następnie przedstaw trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej. Naszkicuj tę parabolę.

y = x² + 4x + 1
Rozwiązanie: a = 1, b = 4, c = 1 ⟹ x_w = -2, Δ = 12, y_w = -3.
- Wierzchołek: W = (-2, -3).
- Postać kanoniczna: y = (x + 2)² - 3.
y = -x² + 2x - 3
Rozwiązanie: a = -1, b = 2, c = -3 ⟹ x_w = 1, Δ = -8, y_w = -2.
- Wierzchołek: W = (1, -2).
- Postać kanoniczna: y = -(x - 1)² - 2.
y = 2x² + 4x + 2
Rozwiązanie: a = 2, b = 4, c = 2 ⟹ x_w = -1, Δ = 0, y_w = 0.
- Wierzchołek: W = (-1, 0).
- Postać kanoniczna: y = 2(x + 1)².
y = -2x² - 8x - 5
Rozwiązanie: a = -2, b = -8, c = -5 ⟹ x_w = -2, Δ = 24, y_w = 3.
- Wierzchołek: W = (-2, 3).
- Postać kanoniczna: y = -2(x + 2)² + 3.
y = 1/2x² + x - 1/2
Rozwiązanie: a = 1/2, b = 1, c = -1/2 ⟹ x_w = -1, Δ = 2, y_w = -1.
- Wierzchołek: W = (-1, -1).
- Postać kanoniczna: y = 1/2(x + 1)² - 1.
y = -1/2x² - 2x + 3
Rozwiązanie: a = -1/2, b = -2, c = 3 ⟹ x_w = -2, Δ = 10, y_w = 5.
- Wierzchołek: W = (-2, 5).
- Postać kanoniczna: y = -1/2(x + 2)² + 5.

Zauważmy, że jeśli wyznaczymy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f, to jego drugą współrzędną możemy obliczyć, korzystając z tego, że y_w = f(x_w).

Ćwiczenie 2
Przeczytaj podany w ramce przykład.

Analiza przykładu z ramki:

Funkcja: f(x) = -2x² + 8x - 1.
Współrzędna x_w = -8 / (2 · (-2)) = 2.
Druga współrzędna: y_w = f(2) = -2 · 2² + 8 · 2 - 1 = -8 + 16 - 1 = 7.
Wierzchołek: (2, 7).

Treść Ćwiczenia 2: Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f.

f(x) = 2x² - 4x + 3
Rozwiązanie krok po kroku:
1. a = 2, b = -4. Liczymy x_w = -(-4) / (2 · 2) = 1.
2. Liczymy y_w podstawiając 1 do wzoru funkcji: f(1) = 2(1)² - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1.
3. Wniosek: W = (1, 1).
f(x) = -x² - 3x + 4
Rozwiązanie krok po kroku:
1. a = -1, b = -3 ⟹ x_w = -(-3) / (2 · (-1)) = -1,5.
2. f(-1,5) = -(-1,5)² - 3(-1,5) + 4 = -2,25 + 4,5 + 4 = 6,25.
3. Wniosek: W = (-1,5; 6,25).
f(x) = 1/4x² - x + 10
Rozwiązanie krok po kroku:
1. a = 1/4, b = -1 ⟹ x_w = -(-1) / (2 · 1/4) = 2.
2. f(2) = 1/4(2)² - 2 + 10 = 1 - 2 + 10 = 9.
3. Wniosek: W = (2, 9).

Przykład 2
Prosta x = 1 jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x) = 3x² + bx - 4. Oblicz współczynnik b.

Rozwiązanie krok po kroku:

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek, więc x_w = 1.
Podstawiamy do wzoru na x_w = -b / (2a): $-b / (2 \cdot 3) = 1 ⟹ -b / 6 = 1 ⟹ b = -6$
Wniosek: Szukany współczynnik to b = -6.

Ćwiczenie 3
Prosta l jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Oblicz współczynnik b.

f(x) = x² + bx + 4, l: x = 2
Rozwiązanie: -b / (2 · 1) = 2 ⟹ b = -4.
f(x) = -x² + bx - 3, l: x = 4
Rozwiązanie: -b / (2 · (-1)) = 4 ⟹ b / 2 = 4 ⟹ b = 8.
f(x) = 2x² + bx - 1, l: x = -1
Rozwiązanie: -b / (2 · 2) = -1 ⟹ -b / 4 = -1 ⟹ b = 4.
f(x) = -1/2x² + bx - 7, l: x = -6
Rozwiązanie: -b / (2 · (-1/2)) = -6 ⟹ b = -6.

Przykład 3
Wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku (3, -2). Punkt P(4, 1) należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji f w postaciach kanonicznej i ogólnej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Postać kanoniczna z wierzchołkiem (3, -2): f(x) = a(x - 3)² - 2.
Podstawiamy współrzędne punktu P do powyższego wzoru: 1 = a(4 - 3)² - 2, czyli a = 3. Zatem otrzymujemy postać kanoniczną funkcji: $f(x) = 3(x - 3) 2 - 2$
Następnie wyznaczamy postać ogólną: $f(x) = 3(x - 3) 2 - 2 = 3(x 2 - 6x + 9) - 2 =$ $= 3x 2 - 18x + 27 - 2 = 3x 2 - 18x + 25$

Ćwiczenie 4
Wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie W. Punkt P należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji f w postaciach kanonicznej i ogólnej.

P(3, 1), W(2, 2)
Rozwiązanie:
- Postać kanoniczna: f(x) = a(x - 2)² + 2.
- Podstawiamy P(3, 1) ⟹ 1 = a(3-2)² + 2 ⟹ a = -1.
- Postać kanoniczna: f(x) = -(x - 2)² + 2.
- Postać ogólna: f(x) = -x² + 4x - 2.
P(3, -2), W(4, 0)
Rozwiązanie:
- Postać kanoniczna: f(x) = a(x - 4)².
- Podstawiamy P(3, -2) ⟹ -2 = a(3-4)² ⟹ a = -2.
- Postać kanoniczna: f(x) = -2(x - 4)².
- Postać ogólna: f(x) = -2x² + 16x - 32.
P(-2, -4), W(-1, -6)
Rozwiązanie:
- Postać kanoniczna: f(x) = a(x + 1)² - 6.
- Podstawiamy P(-2, -4) ⟹ -4 = a(-2+1)² - 6 ⟹ a = 2.
- Postać kanoniczna: f(x) = 2(x + 1)² - 6.
- Postać ogólna: f(x) = 2x² + 4x - 4.

Ćwiczenie 5
Do paraboli y = ax² + bx + c należy punkt P, a wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W. Oblicz współczynniki a, b, c.

P(0, 2), W(2, 0)
Rozwiązanie:
- y = a(x - 2)². Podstawiamy P(0, 2) ⟹ 2 = a(0 - 2)² ⟹ 4a = 2 ⟹ a = 1/2.
- Rozwijamy do postaci ogólnej: y = 1/2(x² - 4x + 4) = 1/2x² - 2x + 2.
- Wynik: a = 1/2, b = -2, c = 2.
P(0, 0), W(-1, -1)
Rozwiązanie:
- y = a(x + 1)² - 1. Podstawiamy P(0, 0) ⟹ 0 = a(0 + 1)² - 1 ⟹ a = 1.
- Rozwijamy: y = 1 · (x² + 2x + 1) - 1 = x² + 2x.
- Wynik: a = 1, b = 2, c = 0.
P(3, 1), W(0, 3)
Rozwiązanie:
- y = ax² + 3. Podstawiamy P(3, 1) ⟹ 1 = a(3)² + 3 ⟹ 9a = -2 ⟹ a = -2/9.
- Wynik: a = -2/9, b = 0, c = 3.
P(-2, 0), W(-1, 3)
Rozwiązanie:
- y = a(x + 1)² + 3. Podstawiamy P(-2, 0) ⟹ 0 = a(-2 + 1)² + 3 ⟹ a = -3.
- Rozwijamy: y = -3(x² + 2x + 1) + 3 = -3x² - 6x.
- Wynik: a = -3, b = -6, c = 0.
P(2, 1), W(1, 2)
Rozwiązanie:
- y = a(x - 1)² + 2. Podstawiamy P(2, 1) ⟹ 1 = a(2 - 1)² + 2 ⟹ a = -1.
- Rozwijamy: y = -(x² - 2x + 1) + 2 = -x² + 2x + 1.
- Wynik: a = -1, b = 2, c = 1.
P(1, 2), W(2, 4)
Rozwiązanie:
- y = a(x - 2)² + 4. Podstawiamy P(1, 2) ⟹ 2 = a(1 - 2)² + 4 ⟹ a = -2.
- Rozwijamy: y = -2(x² - 4x + 4) + 4 = -2x² + 8x - 4.
- Wynik: a = -2, b = 8, c = -4.

BAZA ZADAŃ UTRWALAJĄCYCH Z TESTÓW NOWEJ ERY (GRUPA A)

Zadanie 1 (3 p.)

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + 3 jest równa 2, a f(1) = -6. Oblicz drugą współrzędną wierzchołka tej paraboli.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Wierzchołek paraboli ma współrzędne (p, q). Wiemy, że p = 2. Wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka to p = -b / (2a). Mamy też podaną wartość dla argumentu x=1. Utworzymy układ równań z niewiadomymi a i b, aby poznać pełny wzór funkcji, a następnie obliczymy drugą współrzędną wierzchołka (q = f(p)).
Krok 1: Wykorzystanie wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka (p = 2): $-b / (2a) = 2$ Mnożymy obustronnie przez -2a: $b = -4a$
Krok 2: Wykorzystanie warunku f(1) = -6:
Podstawiamy x = 1 do wzoru f(x) = ax² + bx + 3: $f(1) = a \cdot 1 2 + b \cdot 1 + 3 = a + b + 3$ Wiemy, że f(1) = -6, zatem: $a + b + 3 = -6$ $a + b = -9$
Krok 3: Wyznaczenie a i b:
Podstawiamy b = -4a do równania a + b = -9: $a + (-4a) = -9$ $-3a = -9 ⟹ a = 3$ Obliczamy b: $b = -4 \cdot 3 = -12$ Wzór funkcji w postaci ogólnej to: f(x) = 3x² - 12x + 3.
Krok 4: Obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka (q):
Druga współrzędna wierzchołka to wartość funkcji dla x = p = 2: $q = f(2) = 3 \cdot 2 2 - 12 \cdot 2 + 3$ $q = 3 \cdot 4 - 24 + 3 = 12 - 24 + 3 = -9$

Odpowiedź: Druga współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa -9.

Zadanie 2 (3 p.)

Najmniejszą wartością, jaką przyjmuje trójmian kwadratowy y = ax² - 12x + 17 jest liczba 5. Podaj postać kanoniczną tego trójmianu.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Skoro trójmian przyjmuje wartość najmniejszą, to parabola ma ramiona skierowane w górę (a > 0), a wartość najmniejsza jest rządną wierzchołka, czyli q = 5. Wierzchołek paraboli to (p, q) = (p, 5). Skorzystamy ze wzorów na p = -b / (2a) oraz q = -Δ / (4a).
Krok 1: Wyznaczenie p w zależności od a:
Współczynniki trójmianu to: a, b = -12, c = 17. $p = -(-12) / (2a) = 6 / a$
Krok 2: Wyznaczenie delty Δ: $Δ = b 2 - 4ac = (-12) 2 - 4 \cdot a \cdot 17 = 144 - 68a$
Krok 3: Obliczenie a z warunku q = 5: $q = -Δ / (4a) = 5$ $-(144 - 68a) / (4a) = 5$ Mnożymy obustronnie przez 4a: $-(144 - 68a) = 20a$ $-144 + 68a = 20a$ $48a = 144 ⟹ a = 3$
Krok 4: Wyznaczenie p oraz zapisanie postaci kanonicznej:
Obliczamy p: $p = 6 / 3 = 2$ Wierzchołek to W(2, 5). Postać kanoniczna y = a(x-p)² + q to: $y = 3(x - 2) 2 + 5$

Odpowiedź: Postać kanoniczna tego trójmianu to y = 3(x - 2)² + 5.

Zadanie 3 (1 p.)

Wskaż równanie prostej, do której należy wierzchołek paraboli, będącej wykresem trójmianu y = 2x² - 20x + 53.
A. 3x - 2y - 9 = 0
B. 2x - 3y + 9 = 0
C. 5x - 3y + 8 = 0
D. 3x - 5y - 8 = 0

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Najpierw musimy wyznaczyć współrzędne wierzchołka W(p, q) podanej paraboli. Następnie podstawimy współrzędne wierzchołka (x=p, y=q) do równań prostych z odpowiedzi A, B, C, D i sprawdzimy, które równanie staje się prawdziwe.
Krok 1: Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka W(p, q):
Współczynniki: a = 2, b = -20, c = 53. $p = -b / (2a) = -(-20) / (2 \cdot 2) = 20 / 4 = 5$ $q = y(5) = 2 \cdot 5 2 - 20 \cdot 5 + 53 = 2 \cdot 25 - 100 + 53 = 50 - 100 + 53 = 3$ Wierzchołek to W(5, 3).
Krok 2: Sprawdzenie punktu (5, 3) w podanych równaniach:
- A: 3(5) - 2(3) - 9 = 15 - 6 - 9 = 0 (Prawda!)

Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to A.

Zadanie 5 (3 p.)

Opisz, jak należy przesunąć wykres funkcji f(x) = x² - 8x + 15, aby otrzymać wykres funkcji g(x) = x² + 4x + 10.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Aby dowiedzieć się, jak przesunąć wykres jednej funkcji kwadratowej na drugą, najwygodniej jest sprowadzić obie funkcje do postaci kanonicznej i porównać położenie ich wierzchołków W_f(p_f, q_f) oraz W_g(p_g, q_g). Przesunięcie o wektor [u, v] oznacza zmianę współrzędnej x o u oraz współrzędnej y o v.
Krok 1: Wyznaczamy wierzchołek funkcji f(x) = x² - 8x + 15:
a = 1, b = -8, c = 15. $p f = -(-8) / (2 \cdot 1) = 4$ $q f = f(4) = 4 2 - 8 \cdot 4 + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$ Wierzchołek funkcji f to W_f = (4, -1).
Krok 2: Wyznaczamy wierzchołek funkcji g(x) = x² + 4x + 10:
a = 1, b = 4, c = 10. $p g = -4 / (2 \cdot 1) = -2$ $q g = g(-2) = (-2) 2 + 4 \cdot (-2) + 10 = 4 - 8 + 10 = 6$ Wierzchołek funkcji g to W_g = (-2, 6).
Krok 3: Obliczamy przesunięcie (zmianę współrzędnych):
- Zmiana wzdłuż osi OX: p_g - p_f = -2 - 4 = -6 (czyli o 6 jednostek w lewo).
- Zmiana wzdłuż osi OY: q_g - q_f = 6 - (-1) = 7 (czyli o 7 jednostek w górę).

Odpowiedź: Wykres funkcji f należy przesunąć o 6 jednostek w lewo oraz o 7 jednostek w górę [odpowiada to przesunięciu o wektor [-6, 7]].

Zadanie 6 (4 p.)

Dla trójmianu kwadratowego f(x) = ax² + bx + c dane są trzy spośród czterech wartości: a, b, c, wyróżnik Δ. Oblicz brakujący element tego zestawu danych.
a) a = 3, b = 2, c = -1
b) a = 5, b = -3, Δ = -31
c) b = 8, c = -3, Δ = 76
d) a = -2, c = -5, Δ = -4

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Wszystkie podpunkty bazują na jednym wzorze na wyróżnik trójmianu kwadratowego (deltę): Δ = b² - 4ac. Podstawiamy znane dane i wyznaczamy niewiadomą.
a) Szukane: Δ $Δ = b 2 - 4ac = 2 2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$
b) Szukane: c $Δ = b 2 - 4ac ⟹ -31 = (-3) 2 - 4 \cdot 5 \cdot c$ $-31 = 9 - 20c$ $-40 = -20c ⟹ c = 2$
c) Szukane: a $Δ = b 2 - 4ac ⟹ 76 = 8 2 - 4 \cdot a \cdot (-3)$ $76 = 64 + 12a$ $12 = 12a ⟹ a = 1$
d) Szukane: b $Δ = b 2 - 4ac ⟹ -4 = b 2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5)$ $-4 = b 2 - 40$ $b 2 = 36 ⟹ b = 6 lub b = -6$

Zadanie 9 (4 p.)

Dane są punkty A(-3, 1) i B(-1, 5). Zapisz w postaci ogólnej i kanonicznej wzór funkcji kwadratowej, której wykres:
a) przechodzi przez punkt A i ma wierzchołek w punkcie B,
b) przechodzi przez punkt B i ma wierzchołek w punkcie A.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Gdy znamy wierzchołek W(p, q) paraboli, startujemy z postaci kanonicznej y = a(x - p)² + q. Brakujący współczynnik a wyznaczamy, podstawiając do wzoru drugi podany punkt. Na koniec rozwijamy wzór, by otrzymać postać ogólną y = ax² + bx + c.
Podpunkt a) Wierzchołek W = B(-1, 5), punkt A(-3, 1):
- Postać kanoniczna z niewiadomym a: $y = a(x - (-1)) 2 + 5 = a(x + 1) 2 + 5$
- Podstawiamy punkt A(-3, 1) za x i y: $1 = a(-3 + 1) 2 + 5$ $1 = a(-2) 2 + 5 ⟹ 1 = 4a + 5 ⟹ 4a = -4 ⟹ a = -1$
- Postać kanoniczna: $y = -(x + 1) 2 + 5$
- Przekształcenie do postaci ogólnej: $y = -(x 2 + 2x + 1) + 5 = -x 2 - 2x - 1 + 5 = -x 2 - 2x + 4$
Podpunkt b) Wierzchołek W = A(-3, 1), punkt B(-1, 5):
- Postać kanoniczna z niewiadomym a: $y = a(x + 3) 2 + 1$
- Podstawiamy punkt B(-1, 5) za x i y: $5 = a(-1 + 3) 2 + 1$ $5 = a(2) 2 + 1 ⟹ 5 = 4a + 1 ⟹ 4a = 4 ⟹ a = 1$
- Postać kanoniczna: $y = (x + 3) 2 + 1$
- Przekształcenie do postaci ogólnej: $y = (x 2 + 6x + 9) + 1 = x 2 + 6x + 10$

Zadanie 38 (2 p.)

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu y = 3x² + bx + 7 jest równa 4. Oblicz drugą współrzędną wierzchołka tej paraboli.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Wiemy, że x_w = p = 4. Znając wzór p = -b / (2a), wyznaczymy współczynnik b. Następnie obliczymy y_w = q = f(p).
Krok 1: Wyznaczenie b:
a = 3, c = 7, p = 4. $-b / (2 \cdot 3) = 4 ⟹ -b / 6 = 4 ⟹ b = -24$
Krok 2: Obliczenie drugiej współrzędnej wierzchołka (y_w):
Wzór funkcji to y = 3x² - 24x + 7. $y w = f(4) = 3 \cdot 4 2 - 24 \cdot 4 + 7 = 3 \cdot 16 - 96 + 7 = 48 - 96 + 7 = -41$

Odpowiedź: Druga współrzędna wierzchołka paraboli wynosi -41.

Zadanie 39 (3 p.)

Który z punktów: A=(-5, 7) czy B=(8, 3) leży bliżej osi symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji f(x) = 2x² - 4x + 9? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Oś symetrii paraboli to pionowa prosta x = p przechodząca przez wierzchołek. Aby sprawdzić, który punkt leży bliżej osi symetrii, wyznaczymy p, a następnie porównamy odległości pierwszych współrzędnych punktów A i B od prostej x = p.
Krok 1: Wyznaczamy oś symetrii paraboli (x = p):
a = 2, b = -4, c = 9. $p = -(-4) / (2 \cdot 2) = 4 / 4 = 1$ Oś symetrii ma równanie x = 1.
Krok 2: Obliczamy odległość punktów od prostej x = 1:
- Dla punktu A(-5, 7) odległość od x = 1 to |-5 - 1| = |-6| = 6 jednostek.
- Dla punktu B(8, 3) odległość od x = 1 to |8 - 1| = 7 jednostek.
Wniosek: Ponieważ 6 < 7, punkt A leży bliżej osi symetrii paraboli.

Zadanie 40 (3 p.)

Udowodnij, że wierzchołek paraboli y = x² + bx + 3 należy do paraboli o równaniu y = -x² + 3.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Aby udowodnić, że wierzchołek pierwszej paraboli należy do drugiej, wyznaczymy ogólne punkty p i q pierwszej paraboli (zależne od b), a następnie sprawdzimy, czy po podstawieniu x = p do wzoru drugiej paraboli otrzymamy dokładnie wartość y = q.
Krok 1: Wyznaczamy współrzędne wierzchołka W(p, q) pierwszej paraboli:
a = 1, b = b, c = 3. $p = -b / (2 \cdot 1) = -b / 2$ $q = f(p) = (-b / 2) 2 + b(-b / 2) + 3 = b 2 / 4 - b 2 / 2 + 3 = -b 2 / 4 + 3$ Wierzchołek to W(-b / 2, -b² / 4 + 3).
Krok 2: Sprawdzamy, czy W spełnia równanie paraboli y = -x² + 3:
Podstawiamy x = p = -b / 2 do wzoru y = -x² + 3: $y = -(-b / 2) 2 + 3 = -b 2 / 4 + 3$
Wniosek: Otrzymana wartość y jest identyczna z rządną wierzchołka q = -b² / 4 + 3. To dowodzi, że wierzchołek pierwszej paraboli należy do paraboli y = -x² + 3 niezależnie od wartości parametru b. ∎

Zadanie 41 (3 p.)

Wiadomo, że funkcja kwadratowa f przyjmuje wartość najmniejszą równą -1 oraz że f(-4) = f(2) = 2. Przedstaw tę funkcję w postaci ogólnej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Funkcja kwadratowa przyjmuje te same wartości dla argumentów symetrycznie oddalonych od wierzchołka. Skoro f(-4) = f(2), to pierwsza współrzędna wierzchołka p leży dokładnie pośrodku między -4 a 2. Z kolei wartość najmniejsza to druga współrzędna wierzchołka, czyli q = -1.
Krok 1: Obliczamy p oraz q: $p = (-4 + 2) / 2 = -2 / 2 = -1$ Wiemy, że q = -1, więc wierzchołek to W(-1, -1).
Krok 2: Zapisujemy postać kanoniczną i wyznaczamy a: $f(x) = a(x - (-1)) 2 - 1 = a(x + 1) 2 - 1$ Wykorzystujemy punkt (2, 2), czyli f(2) = 2: $2 = a(2 + 1) 2 - 1 ⟹ 2 = 9a - 1 ⟹ 9a = 3 ⟹ a = 1/3$
Krok 3: Przekształcamy do postaci ogólnej: $f(x) = 1/3(x + 1) 2 - 1 = 1/3(x 2 + 2x + 1) - 1 = 1/3x 2 + 2/3x + 1/3 - 1 = 1/3x 2 + 2/3x - 2/3$

Zadanie 42 (3 p.)

Do wykresu funkcji kwadratowej f należy punkt A=(0, 3) i funkcja ta przyjmuje wartość największą równą 7 dla argumentu 1. Przedstaw funkcję f w postaci ogólnej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Informacja „wartość największa równa 7 dla argumentu 1” oznacza, że wierzchołkiem paraboli jest punkt W(1, 7).
Krok 1: Zapisujemy postać kanoniczną: $f(x) = a(x - 1) 2 + 7$
Krok 2: Wyznaczamy a korzystając z punktu A(0, 3): $3 = a(0 - 1) 2 + 7 ⟹ 3 = a(1) + 7 ⟹ a = -4$
Krok 3: Rozwijamy do postaci ogólnej: $f(x) = -4(x - 1) 2 + 7 = -4(x 2 - 2x + 1) + 7 = -4x 2 + 8x - 4 + 7 = -4x 2 + 8x + 3$

Zadanie 45 (1 p.)

Funkcja g(x) = x² + bx + c przyjmuje wartość najmniejszą równą 4 dla argumentu 3. Wówczas:
A. b = -3, c = 4
B. b = 3, c = 4
C. b = 6, c = 13
D. b = -6, c = 13

Rozwiązanie krok po kroku:

Krok 1: Odczytujemy wierzchołek i budujemy postać kanoniczną:
Najmniejsza wartość 4 dla argumentu 3 oznacza, że W = (3, 4). Ponieważ a = 1, postać kanoniczna wynosi: $g(x) = (x - 3) 2 + 4$
Krok 2: Rozwijamy do postaci ogólnej: $g(x) = x 2 - 6x + 9 + 4 = x 2 - 6x + 13$ Stąd b = -6 oraz c = 13.

Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to D.

Zadanie 46 (2 p.)

Przedstaw funkcję f(x) = 2x² + 8x + 5 w postaci kanonicznej. Podaj zbiór wartości i przedziały monotoniczności tej funkcji.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Do postaci kanonicznej f(x) = a(x-p)² + q potrzebujemy współrzędnych wierzchołka p oraz q. Gdy je poznamy, łatwo odczytamy zbiór wartości (od q do +∞, bo a > 0) oraz przedziały, w których funkcja rośnie i maleje.
Krok 1: Obliczenie p i q:
a = 2, b = 8, c = 5. $p = -b / (2a) = -8 / (2 \cdot 2) = -2$ $Δ = b 2 - 4ac = 8 2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 64 - 40 = 24$ $q = -Δ / (4a) = -24 / (4 \cdot 2) = -3$
Krok 2: Zapis postaci kanonicznej: $f(x) = 2(x + 2) 2 - 3$
Krok 3: Zbiór wartości i monotoniczność:
Ponieważ a = 2 > 0, ramiona paraboli skierowane są w górę.
- Zbiór wartości: Y ∈ ⟨ -3; +∞ )
- Monotoniczność:
  - Funkcja jest malejąca w przedziale (-∞; -2⟩
  - Funkcja jest rosnąca w przedziale ⟨ -2; +∞)

Zadanie 47 (1 p.)

Prosta o równaniu x = -2 jest osią symetrii paraboli y = -4x² + bx - 9. Wyznacz współczynnik b.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek, opisana równaniem x = p. Wynika stąd bezpośrednio, że p = -2.
Krok 1: Obliczenie b ze wzoru na p:
a = -4. $p = -b / (2a) ⟹ -2 = -b / (2 \cdot (-4))$ $-2 = b / 8 ⟹ b = -16$

Odpowiedź: Współczynnik b = -16.

Zadanie 48 (2 p.)

Przedstaw funkcję kwadratową f(x) = -1/4(x-4)² + 5 w postaci ogólnej i oblicz jej wyróżnik.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Przekształcenie z postaci kanonicznej do ogólnej wymaga użycia wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy (a-b)² = a² - 2ab + b², wymnożenia przez współczynnik a = -1/4 i zredukowania wyrazów podobnych. Gdy uzyskamy postać ogólną ax² + bx + c, obliczymy Δ = b² - 4ac.
Krok 1: Rozwinięcie nawiasu i przekształcenie: $f(x) = -1/4(x 2 - 8x + 16) + 5$ $f(x) = -1/4x 2 + 2x - 4 + 5$ $f(x) = -1/4x 2 + 2x + 1$
Krok 2: Obliczenie wyróżnika Δ:
a = -1/4, b = 2, c = 1. $Δ = b 2 - 4ac = 2 2 - 4 \cdot (-1/4) \cdot 1 = 4 + 1 = 5$

Odpowiedź: Postać ogólna to f(x) = -1/4x² + 2x + 1, a jej wyróżnik wynosi Δ = 5.

Zadanie 49 (3 p.)

Do wykresu funkcji f(x) = x² + bx + c należą punkty A=(3, 11) i B=(6, 8). Wyznacz współczynniki b i c oraz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji f.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Podstawiamy podane punkty do wzoru funkcji, aby stworzyć układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (b i c). Następnie obliczymy współrzędne wierzchołka ze wzorów na p i q.
Krok 1: Układamy i rozwiązujemy układ równań:
- Dla A(3, 11): 11 = 3² + 3b + c ⟹ 3b + c = 2
- Dla B(6, 8): 8 = 6² + 6b + c ⟹ 6b + c = -28
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
(6b + c) - (3b + c) = -28 - 2

3b = -30 ⟹ b = -10
Obliczamy c:
3(-10) + c = 2 ⟹ -30 + c = 2 ⟹ c = 32
Wzór funkcji to f(x) = x² - 10x + 32.
Krok 2: Wyznaczamy wierzchołek W(p, q): $p = -(-10) / (2 \cdot 1) = 5$ $q = f(5) = 5 2 - 10 \cdot 5 + 32 = 25 - 50 + 32 = 7$

Odpowiedź: Współczynniki to b = -10, c = 32, a wierzchołek paraboli ma współrzędne W(5, 7).

Zadanie 50 (3 p.)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wyróżnik trójmianu kwadratowego y = (m-2)x² + 3x + m + 2 jest równy 0. Dla otrzymanych wartości m przedstaw ten trójmian w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Trójmian kwadratowy wymaga, aby a ≠ 0, czyli m - 2 ≠ 0 ⟹ m ≠ 2. Układamy równanie Δ = 0 i rozwiązujemy je względem niewiadomej m.
Krok 1: Wyznaczenie wzoru na Δ:
a = m - 2, b = 3, c = m + 2. $Δ = b 2 - 4ac = 3 2 - 4(m - 2)(m + 2) = 9 - 4(m 2 - 4) = 9 - 4m 2 + 16 = 25 - 4m 2$
Krok 2: Przyrównanie Δ do 0: $25 - 4m 2 = 0 ⟹ 4m 2 = 25 ⟹ m 2 = 25 / 4$ $m = 5 / 2 = 2,5 lub m = -5 / 2 = -2,5$ Obie wartości są różne od 2.
Krok 3: Postać kanoniczna dla wyznaczonych wartości m:
Gdy Δ = 0, to q = -Δ / (4a) = 0, więc postać kanoniczna to po prostu y = a(x - p)².
- Dla m = 2,5: $a = 2,5 - 2 = 0,5 = 1/2$ $p = -b / (2a) = -3 / (2 \cdot 1/2) = -3$ Postać kanoniczna: y = 1/2(x + 3)².
- Dla m = -2,5: $a = -2,5 - 2 = -4,5 = -9/2$ $p = -b / (2a) = -3 / (2 \cdot (-9/2)) = 3 / 9 = 1/3$ Postać kanoniczna: y = -9/2(x - 1/3)².

Zadanie 51 (2 p.)

Dla jakiej wartości parametru m wyróżnik trójmianu kwadratowego y = 2(x-5)² + 3m - 12 jest równy 0?

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Funkcja jest już podana w postaci kanonicznej y = a(x-p)² + q, gdzie a = 2, p = 5, a wyraz wolny na końcu to q = 3m - 12. Z wiążącego wzoru q = -Δ / (4a) wynika, że Δ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy q = 0.
Krok 1: Przyrównanie q do zera: $3m - 12 = 0 ⟹ 3m = 12 ⟹ m = 4$

Odpowiedź: Wyróżnik trójmianu jest równy 0 dla m = 4.

Zadanie 52 (2 p.)

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji f(x) = 2x² - 24x + 80. Oblicz odległość wierzchołka tej paraboli od punktu O=(0,0).

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Najpierw obliczamy p oraz q ze znanych wzorów. Otrzymamy punkt W(p, q). Następnie odległość punktu (p, q) od początku układu współrzędnych (0,0) wyliczymy z twierdzenia Pitagorasa: d = √(p² + q²).
Krok 1: Wyznaczenie wierzchołka W(p, q):
a = 2, b = -24, c = 80. $p = -(-24) / (2 \cdot 2) = 24 / 4 = 6$ $q = f(6) = 2 \cdot 6 2 - 24 \cdot 6 + 80 = 2 \cdot 36 - 144 + 80 = 72 - 144 + 80 = 8$ Wierzchołek ma współrzędne W(6, 8).
Krok 2: Obliczenie odległości od punktu O(0,0): $d = \sqrt(6 2 + 8 2) = \sqrt(36 + 64) = \sqrt100 = 10$

Odpowiedź: Wierzchołek paraboli to W(6, 8), a jego odległość od początku układu współrzędnych wynosi 10.

Zadanie 53 (2 p.)

Dla jakich wartości parametru m wyróżnik trójmianu kwadratowego y = -3x² + 8x - m - 5 jest ujemny?

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Zapisujemy wzór na wyróżnik Δ = b² - 4ac i układamy nierówność Δ < 0.
Krok 1: Wyznaczenie delty:
a = -3, b = 8, c = -m - 5. $Δ = 8 2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-m - 5) = 64 + 12(-m - 5) = 64 - 12m - 60 = 4 - 12m$
Krok 2: Rozwiązanie nierówności Δ < 0: $4 - 12m < 0$ $-12m < -4$ Dzielimy przez -12 (zmieniając znak nierówności): $m > 4 / 12 ⟹ m > 1 / 3$

Odpowiedź: Wyróżnik jest ujemny dla m ∈ (1/3; +∞).

Zadanie 54 (2 p.)

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = 4x² - 8x - 3. Przedstaw tę funkcję w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Wyznaczamy p = -b / (2a) oraz q = f(p), po czym wstawiamy je bezpośrednio do postaci kanonicznej f(x) = a(x-p)² + q.
Krok 1: Wyznaczenie wierzchołka:
a = 4, b = -8, c = -3. $p = -(-8) / (2 \cdot 4) = 1$ $q = f(1) = 4(1) 2 - 8(1) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7$ Wierzchołek to W(1, -7).
Krok 2: Postać kanoniczna: $f(x) = 4(x - 1) 2 - 7$

Zadanie 55 (1 p.)

Wskaż postać ogólną funkcji kwadratowej f(x) = -(x+3)² + 11.
A. f(x) = -x² + 2
B. f(x) = -x² - 6x + 2
C. f(x) = -x² + 6x + 20
D. f(x) = -x² + 6x + 2

Rozwiązanie krok po kroku:

Krok 1: Rozwinięcie wzoru skróconego mnożenia: $f(x) = -(x 2 + 6x + 9) + 11 = -x 2 - 6x - 9 + 11 = -x 2 - 6x + 2$

Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B.

Zadanie 65 (1 p.)

Parabolę o równaniu y = 1/3x² przesunięto tak, że jej wierzchołek znalazł się w punkcie W(-1, 2). W ten sposób otrzymano parabolę o równaniu:
A. y = 1/3(x-1)² - 2
B. y = 1/3(x+1)² - 2
C. y = 1/3(x-1)² + 2
D. y = 1/3(x+1)² + 2

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Współczynnik a = 1/3 nie ulega zmianie przy przesunięciu. Postać kanoniczna z wierzchołkiem W(p, q) = (-1, 2) ma wzór y = a(x-p)² + q = 1/3(x - (-1))² + 2 = 1/3(x + 1)² + 2.

Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to D.

Zadanie 66 (1 p.)

Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = -2(3-x)² jest punkt:
A. (-3, 0)
B. (3, 0)
C. (-2, 0)
D. (0, 3)

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Zauważmy, że (3 - x)² = (-(x - 3))² = (x - 3)². Wzór przyjmuje postać kanoniczną y = -2(x - 3)² + 0. Stąd od razu odczytujemy p = 3 oraz q = 0.

Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to B.

Zadanie 67 (1 p.)

Wskaż równanie paraboli, której wierzchołek nie należy do osi OY.
A. y = -(x + 3/4)²
B. y = -√2x²
C. y = x² + 3
D. y = -x² + 4

Rozwiązanie krok po kroku:

Intuicja („Dlaczego tak?”): Wierzchołek należy do osi OY, gdy jego pierwsza współrzędna wynosi p = 0. Szukamy funkcji, dla której p ≠ 0.
- A: p = -3/4 ≠ 0 (Wierzchołek nie należy do osi OY).

Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to A.