1.10. Funkcja kwadratowa – zastosowania (1)

Chcemy znaleźć dwie liczby, których suma wynosi 12, tak aby ich iloczyn był jak największy. W tym celu zapisujemy iloczyn jako funkcję jednej zmiennej i szukamy maksimum tej funkcji [czyli wierzchołka paraboli].

• Zapisujemy sumę liczb jako równanie:
  $$p + q = 12$$
• Wyznaczamy jedną zmienną za pomocą drugiej [przenosimy \(p\) na drugą stronę, żeby wyrazić \(q\) przez \(p\)]:
  $$q = 12 - p$$
• Tworzymy wzór na iloczyn tych liczb [mnożymy \(p\) przez \(q\)]:
  $$p \cdot q = p(12 - p)$$
• Wymnażamy nawias i porządkujemy wyrażenie [otrzymujemy funkcję kwadratową w postaci ogólnej]:
  $$p \cdot q = 12p - p^2$$
  $$-p^2 + 12p$$
• Wyznaczamy wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji danej wzorem [funkcja ma współczynniki \(a = -1\), \(b = 12\), \(c = 0\)]:
  $$f(p) = -p^2 + 12p$$
  
• Wzór ogólny na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
  $$p_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia:
  $$p_w = -\frac{12}{2 \cdot (-1)}$$
  $$p_w = \frac{-12}{-2} = 6$$
• Obliczamy wartość funkcji dla \(p = 6\) [podstawiamy 6 do wzoru funkcji, aby znaleźć największy iloczyn]:
  $$f(p_w) = -6^2 + 12 \cdot 6$$
  $$f(p_w) = -36 + 72 = 36$$

Największa wartość iloczynu liczb \(p\) i \(q\) jest równa 36 (dla \(p = q = 6\)).

a) Suma równa 38 (\(p + q = 38\))

Chcemy znaleźć największy możliwy iloczyn dwóch liczb, których suma wynosi 38, postępując analogicznie jak w Przykładzie 1.

• Zapisujemy sumę liczb:
  $$p + q = 38$$
• Wyznaczamy \(q\):
  $$q = 38 - p$$
• Tworzymy funkcję iloczynu:
  $$f(p) = p(38 - p)$$
  $$f(p) = -p^2 + 38p$$
• Wzór ogólny na współrzędną \(p_w\) wierzchołka paraboli:
  $$p_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = -1\), \(b = 38\)):
  $$p_w = -\frac{38}{2 \cdot (-1)}$$
  $$p_w = 19$$
• Obliczamy wartość funkcji w wierzchołku [podstawiamy \(p = 19\) do wzoru]:
  $$f(19) = -19^2 + 38 \cdot 19$$
  $$f(19) = -361 + 722 = 361$$

Największa wartość iloczynu wynosi 361 (dla \(p = 19\) i \(q = 19\)).

---

b) Suma równa \(\frac{1}{2}\) (\(p + q = \frac{1}{2}\))

Szukamy największej wartości iloczynu dwóch liczb, których suma wynosi \(\frac{1}{2}\), tworząc funkcję kwadratową i szukając jej wierzchołka.

• Zapisujemy sumę liczb:
  $$p + q = \frac{1}{2}$$
• Wyznaczamy \(q\):
  $$q = \frac{1}{2} - p$$
• Tworzymy funkcję iloczynu:
  $$f(p) = p \left(\frac{1}{2} - p\right)$$
  $$f(p) = -p^2 + \frac{1}{2}p$$
• Wzór ogólny na wierzchołek paraboli:
  $$p_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = -1\), \(b = \frac{1}{2}\)):
  $$p_w = -\frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot (-1)}$$
  $$p_w = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$$
• Obliczamy wartość w wierzchołku:
  $$f\left(\frac{1}{4}\right) = -\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$$
  $$f\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{16} + \frac{1}{8} = -\frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{1}{16}$$

Największa wartość iloczynu wynosi \(\frac{1}{16}\) (dla \(p = \frac{1}{4}\) oraz \(q = \frac{1}{4}\)).

---

c) Suma równa \(\sqrt{2}\) (\(p + q = \sqrt{2}\))

Chcemy wyznaczyć największą wartość iloczynu dwóch liczb o sumie równej \(\sqrt{2}\), korzystając z wierzchołka paraboli.

• Zapisujemy sumę liczb:
  $$p + q = \sqrt{2}$$
• Wyznaczamy \(q\):
  $$q = \sqrt{2} - p$$
• Tworzymy funkcję iloczynu:
  $$f(p) = p(\sqrt{2} - p)$$
  $$f(p) = -p^2 + \sqrt{2}p$$
• Wzór ogólny na wierzchołek paraboli:
  $$p_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = -1\), \(b = \sqrt{2}\)):
  $$p_w = -\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot (-1)}$$
  $$p_w = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
• Obliczamy wartość w wierzchołku:
  $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
  $$f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{2}{4} + \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$$

Największa wartość iloczynu wynosi \(\frac{1}{2}\) (dla \(p = \frac{\sqrt{2}}{2}\) oraz \(q = \frac{\sqrt{2}}{2}\)).

Mamy podaną zależność liniową między \(p\) i \(q\) (\(p + 2q = 36\)). Chcemy znaleźć taki wybór liczb, aby ich iloczyn \(p \cdot q\) był największy możliwy, budując funkcję kwadratową jednej zmiennej.

• Zapisujemy daną sumę:
  $$p + 2q = 36$$
• Wyznaczamy zmienną \(p\) [łatwiej wyznaczyć \(p\), bo stoi przy nim współczynnik 1]:
  $$p = 36 - 2q$$
• Tworzymy funkcję iloczynu zmiennej \(q\) [mnożymy wyznaczone \(p\) przez \(q\)]:
  $$f(q) = (36 - 2q) \cdot q$$
  $$f(q) = -2q^2 + 36q$$
• Wzór ogólny na współrzędną wierzchołka paraboli (\(q_w\)):
  $$q_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = -2\), \(b = 36\)):
  $$q_w = -\frac{36}{2 \cdot (-2)}$$
  $$q_w = \frac{-36}{-4} = 9$$
• Obliczamy wartość iloczynu dla \(q = 9\) [podstawiamy do wzoru funkcji]:
  $$f(9) = -2 \cdot 9^2 + 36 \cdot 9$$
  $$f(9) = -2 \cdot 81 + 324$$
  $$f(9) = -162 + 324 = 162$$

Największa wartość iloczynu liczb \(p\) i \(q\) wynosi 162 (osiągana dla \(q = 9\) oraz \(p = 36 - 2 \cdot 9 = 18\)).

Chcemy znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w zadanym przedziale domkniętym. Badamy w tym celu wartości funkcji na końcach przedziału oraz w wierzchołku paraboli (jeśli wierzchołek należy do tego przedziału).

• Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału \([-1; 2]\) [podstawiamy \(x = -1\) oraz \(x = 2\) do wzoru funkcji]:
  $$f(-1) = -(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 4 = -1 - 2 + 4 = 1$$
  $$f(2) = -(2)^2 + 2 \cdot 2 + 4 = -4 + 4 + 4 = 4$$
• Wzór ogólny na współrzędną \(x_w\) wierzchołka paraboli:
  $$x_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia dla \(f(x) = -x^2 + 2x + 4\) (\(a = -1\), \(b = 2\)):
  $$x_w = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$$
• Obliczamy wartość funkcji w wierzchołku:
  $$y_w = f(1) = -(1)^2 + 2 \cdot 1 + 4 = -1 + 2 + 4 = 5$$
• Sprawdzamy przynależność wierzchołka do przedziału:

  Ponieważ \(x_w = 1 \in [-1; 2]\) oraz ramiona paraboli są skierowane w dół, największa wartość funkcji w tym przedziale jest równa 5. Wartość najmniejsza jest przyjmowana dla \(x = -1\) i wynosi 1.

  

Wartość najmniejsza funkcji w przedziale \([-1; 2]\) jest równa 1, a wartość największa wynosi 5.

Chcemy wyznaczyć wartości ekstremalne funkcji w przedziale \([-1; 2]\), sprawdzając najpierw wartości na końcach przedziału oraz sprawdzając, czy wierzchołek paraboli wpada do tego przedziału.

• Obliczamy wartość funkcji na lewym końcu przedziału (\(x = -1\)):
  $$f(-1) = -\frac{1}{4} \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1$$
  $$f(-1) = -\frac{1}{4} - 2 + 1 = -\frac{5}{4}$$
• Obliczamy wartość funkcji na prawym końcu przedziału (\(x = 2\)):
  $$f(2) = -\frac{1}{4} \cdot (2)^2 + 2 \cdot 2 + 1$$
  $$f(2) = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 4 + 1 = -1 + 4 + 1 = 4$$
• Wzór ogólny na współrzędną wierzchołka paraboli:
  $$x_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia dla \(a = -\frac{1}{4}\) i \(b = 2\):
  $$x_w = -\frac{2}{2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)}$$
  $$x_w = -\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 4$$
• Sprawdzamy przynależność wierzchołka do przedziału:

  Ponieważ \(x_w = 4 \notin [-1; 2]\) [wierzchołek leży poza badanym przedziałem], funkcja w tym przedziale jest monotoniczna.

  

Zatem wartość najmniejsza (\(-\frac{5}{4}\)) i wartość największa (4) funkcji \(f\) przyjmowane są na końcach przedziału \([-1; 2]\), czyli są to odpowiednio \(-\frac{5}{4}\) i 4.

a) \(f(x) = x^2 + 4x + 8\), \([-3; 1]\)

Chcemy znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale \([-3; 1]\), badając końce przedziału oraz wierzchołek paraboli.

• Obliczamy wartości na końcach przedziału:
  $$f(-3) = (-3)^2 + 4 \cdot (-3) + 8 = 9 - 12 + 8 = 5$$
  $$f(1) = 1^2 + 4 \cdot 1 + 8 = 1 + 4 + 8 = 13$$
• Wzór ogólny na wierzchołek paraboli:
  $$x_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = 1\), \(b = 4\)):
  $$x_w = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$$
• Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału:

  Ponieważ \(x_w = -2 \in [-3; 1]\), obliczamy wartość w wierzchołku [ramiona paraboli są skierowane w górę, więc w wierzchołku mamy wartość najmniejszą]:

  $$y_w = f(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4$$
• Zestawiamy otrzymane wartości (\(f(-3) = 5\), \(f(1) = 13\), \(f(-2) = 4\)):

  Najmniejsza wartość to 4, a największa to 13.

Wartość najmniejsza funkcji w przedziale \([-3; 1]\) wynosi 4, a wartość największa wynosi 13.

---

b) \(f(x) = -2x^2 - 4x - 1\), \([0; 4]\)

Wyznaczamy wartości ekstremalne funkcji w przedziale \([0; 4]\), sprawdzając końce przedziału oraz wierzchołek.

• Obliczamy wartości na końcach przedziału:
  $$f(0) = -2 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - 1 = -1$$
  $$f(4) = -2 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 - 1 = -2 \cdot 16 - 16 - 1 = -32 - 16 - 1 = -49$$
• Wzór ogólny na wierzchołek paraboli:
  $$x_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = -2\), \(b = -4\)):
  $$x_w = -\frac{-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1$$
• Sprawdzamy przynależność do przedziału:

  Ponieważ \(x_w = -1 \notin [0; 4]\) [wierzchołek leży poza przedziałem], funkcja w tym przedziale jest monotoniczna.

Wartość największa to \(f(0) = -1\), a wartość najmniejsza to \(f(4) = -49\).

---

c) \(f(x) = -x^2 + 4x - 6\), \([-1; 3]\)

Badamy wartości funkcji \(f(x) = -x^2 + 4x - 6\) w przedziale \([-1; 3]\).

• Obliczamy wartości na końcach przedziału:
  $$f(-1) = -(-1)^2 + 4 \cdot (-1) - 6 = -1 - 4 - 6 = -11$$
  $$f(3) = -(3)^2 + 4 \cdot 3 - 6 = -9 + 12 - 6 = -3$$
• Wzór ogólny na wierzchołek paraboli:
  $$x_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = -1\), \(b = 4\)):
  $$x_w = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$$
• Sprawdzamy przynależność do przedziału:

  Ponieważ \(x_w = 2 \in [-1; 3]\) oraz ramiona paraboli są skierowane w dół, obliczamy wartość w wierzchołku [będzie to wartość największa]:

  $$y_w = f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 6 = -4 + 8 - 6 = -2$$
• Porównujemy wartości (\(f(-1) = -11\), \(f(3) = -3\), \(f(2) = -2\)):

  Najmniejsza wartość to \(-11\), a największa to \(-2\).

Wartość najmniejsza w przedziale \([-1; 3]\) wynosi \(-11\), a wartość największa wynosi \(-2\).

---

d) \(f(x) = 2x^2 + 2x - 3\), \([-2; 1]\)

Badamy wartości funkcji \(f(x) = 2x^2 + 2x - 3\) w przedziale \([-2; 1]\).

• Obliczamy wartości na końcach przedziału:
  $$f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) - 3 = 2 \cdot 4 - 4 - 3 = 8 - 4 - 3 = 1$$
  $$f(1) = 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 2 + 2 - 3 = 1$$
• Wzór ogólny na wierzchołek paraboli:
  $$x_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = 2\), \(b = 2\)):
  $$x_w = -\frac{2}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$$
• Sprawdzamy przynależność do przedziału:

  Ponieważ \(x_w = -\frac{1}{2} \in [-2; 1]\) oraz ramiona paraboli są skierowane w górę, obliczamy wartość w wierzchołku [będzie to wartość najmniejsza]:

  $$y_w = f\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3$$
  $$y_w = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 - 3 = \frac{1}{2} - 4 = -\frac{7}{2}$$
• Porównujemy wartości (\(f(-2) = 1\), \(f(1) = 1\), \(f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{7}{2}\)):

  Najmniejsza wartość to \(-\frac{7}{2}\), a największa to 1.

Wartość najmniejsza w przedziale \([-2; 1]\) wynosi \(-\frac{7}{2}\), a największa wynosi 1.

Chcemy znaleźć optymalny rozmiar wycinanych w rogach kwadratów (o boku \(x\)), aby pole powierzchni bocznej powstałego pudełka było maksymalne. Tworzymy wzór funkcji opisującej pole boczne i szukamy jej maksimum.

• Analizujemy wymiary pudełka:

  Wysokość pudełka to \(x\). Wymiary podstawy po odcięciu kwadratów z rogów to \((60 - 2x)\) oraz \((40 - 2x)\).

• Tworzymy funkcję pola powierzchni bocznej \(P(x)\) [suma pól czterech ścian bocznych]:
  $$P(x) = 2(40 - 2x) \cdot x + 2(60 - 2x) \cdot x$$
• Upraszczamy wyrażenie algebraiczne:
  $$P(x) = (80 - 4x)x + (120 - 4x)x = 80x - 4x^2 + 120x - 4x^2 = -8x^2 + 200x$$
• Określamy dziedzinę funkcji \(P\) [długość boku \(x\) musi być dodatnia, a odcięcie po \(2x\) z każdego boku nie może przekroczyć długości boków arkusza]:

  Założenia: \(x > 0\), \(2x < 40\), \(2x < 60\)

  Czyli dziedzina to: \(D = (0; 20)\).

• Wzór ogólny na współrzędną \(x_w\) wierzchołka paraboli:
  $$x_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia dla \(a = -8\) i \(b = 200\):
  $$x_w = -\frac{200}{2 \cdot (-8)} = -\frac{200}{-16} = 12,5$$
• Wzór ogólny na współrzędną \(y_w\) (maksymalne pole) wierzchołka paraboli:
  $$y_w = -\frac{\Delta}{4a}$$

  [Alternatywnie obliczamy bezpośrednio jako wartość funkcji \(P(12,5)\)]:

  $$y_w = -\frac{200^2 - 4 \cdot (-8) \cdot 0}{4 \cdot (-8)} = -\frac{40000}{-32} = 1250$$
• Sprawdzamy przynależność do dziedziny:

  Ponieważ \(x_w = 12,5 \in (0; 20)\) oraz ramiona paraboli są skierowane w dół, największa wartość funkcji \(P\) jest przyjmowana dla \(x_w\).

Pudełko ma zatem największe pole powierzchni bocznej, jeśli długość boków wyciętych kwadratów jest równa \(12,5\text{ cm}\). Pole to jest równe \(1250\text{ cm}^2\).

Chcemy znaleźć optymalną długość boku wycinanych kwadratów w kwadratowym arkuszu tektury, aby pole powierzchni bocznej powstałego pudełka było największe.

• Obliczamy długość boku kwadratowego arkusza tektury [skoro pole wynosi \(1600\text{ cm}^2\), pierwiastkujemy pole]:
  $$\sqrt{1600} = 40\text{ cm}$$

  Zatem arkusz ma wymiary \(40\text{ cm} \times 40\text{ cm}\).

• Oznaczamy przez \(x\) długość boku wycinanych w rogach kwadratów.
• Wymiary podstawy po wycięciu rogów to \((40 - 2x) \times (40 - 2x)\), a wysokość wynosi \(x\).
• Tworzymy funkcję pola powierzchni bocznej \(P(x)\) [suma pól czterech identycznych ścian bocznych o wymiarach \((40 - 2x) \times x\)]:
  $$P(x) = 4 \cdot (40 - 2x) \cdot x$$
• Wymnażamy nawias i porządkujemy:
  $$P(x) = 4 \cdot (40x - 2x^2) = 160x - 8x^2 = -8x^2 + 160x$$
• Określamy dziedzinę funkcji \(P\):

  Założenia: \(x > 0\) oraz \(2x < 40\) (czyli \(x < 20\)).

  Dziedzina: \(D = (0; 20)\).

• Wzór ogólny na współrzędną \(x_w\) wierzchołka paraboli:
  $$x_w = -\frac{b}{2a}$$
• Podstawienie i obliczenia (\(a = -8\), \(b = 160\)):
  $$x_w = -\frac{160}{2 \cdot (-8)} = -\frac{160}{-16} = 10$$
• Sprawdzamy przynależność do dziedziny:

  Ponieważ \(x_w = 10 \in (0; 20)\) oraz ramiona paraboli są skierowane w dół, funkcja osiąga maksimum w tym punkcie.

• Obliczamy maksymalne pole powierzchni bocznej \(y_w = P(10)\) [podstawiamy \(x = 10\) do wzoru funkcji]:
  $$P(10) = -8 \cdot 10^2 + 160 \cdot 10$$
  $$P(10) = -8 \cdot 100 + 1600 = -800 + 1600 = 800$$

Długość boków wycinanych kwadratów powinna wynosić \(10\text{ cm}\), aby pole powierzchni bocznej pudełka było największe. Pole to wynosi \(800\text{ cm}^2\).