1.9. Nierówności kwadratowe

Chcemy odczytać z gotowego wykresu, dla jakich argumentów \( x \) wartości funkcji kwadratowej są dodatnie (czyli leżą nad osią \( OX \)), aby wyznaczyć zbiór rozwiązań nierówności.

• Patrzymy na wykres paraboli [szukamy fragmentów wykresu, które znajdują się powyżej osi \( OX \)].
• Odczytujemy współrzędne x punktów przecięcia z osią \( OX \), które wynoszą \( x = -1 \) oraz \( x = 3 \) [są to miejsca zerowe, w których funkcja przecina oś].
• Odczytujemy przedział leżący między tymi miejscami zerowymi, gdzie wykres jest nad osią [wykres "wznosi się" nad oś \( OX \) w przedziale od \( -1 \) do \( 3 \)].

Wynikiem jest przedział otwarty.
Odpowiedź: \( -x^2 + 2x + 3 > 0 \) dla \( x \in (-1; 3) \).

Chcemy znaleźć miejsca zerowe funkcji, naszkicować parabolę i odczytać przedziały, w których wartości są większe od zera.

• W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcji \( y = 2x^2 - 6x \) rozwiązujemy równanie [przyjmujemy wartość równą zero, aby znaleźć punkty graniczne]:
  $$ 2x^2 - 6x = 0 $$
• Wyciągamy wspólny czynnik przed nawias [ułatwiamy sobie znalezienie rozwiązań]:
  $$ 2x(x - 3) = 0 $$
• Wyznaczamy pierwiastki równania [porównujemy każdy czynnik do zera]:
  $$ x = 0 $$
  $$ x = 3 $$
• Rozwiązania równania zaznaczamy na osi \( OX \). Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry [ponieważ współczynnik przy \( x^2 \) wynosi \( 2 \) i jest dodatni], przechodzącą przez zaznaczone punkty.
• Ze szkicu wykresu odczytujemy przedziały, gdzie parabola jest ponad osią \( OX \) [szukamy części wykresu na zewnątrz miejsc zerowych].

Otrzymujemy sumę dwóch przedziałów.
Odpowiedź: \( 2x^2 - 6x > 0 \) dla \( x \in (-\infty; 0) \cup (3; \infty) \).

Chcemy obliczyć miejsca zerowe za pomocą wyróżnika (delty), naszkicować parabolę skierowaną w dół i odczytać przedział, w którym wartości są większe lub równe zero.

• Rozwiązujemy równanie [szukamy miejsc zerowych]:
  $$ -x^2 + 3x - 1 = 0 $$
• Stosujemy wzór ogólny na wyróżnik równania kwadratowego:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy dane (\( a = -1, b = 3, c = -1 \)):
  $$ \Delta = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1) $$
  $$ \Delta = 9 - 4 = 5 $$
• Wyznaczamy pierwiastki równania:
  $$ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 - \sqrt{5}}{-2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} $$
  $$ x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 + \sqrt{5}}{-2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $$
• Rozwiązania równania zaznaczamy na osi \( OX \). Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół [ponieważ współczynnik przy \( x^2 \) wynosi \( -1 \) i jest ujemny], przechodzącą przez zaznaczone punkty.
• Ze szkicu wykresu odczytujemy przedział, w którym wykres znajduje się nad osią \( OX \) lub na niej leży [uwzględniamy domknięcie przedziału ze względu na słabszą nierówność nieostrą \( \geqslant \)].

Otrzymujemy jeden przedział domknięty.
Odpowiedź: \( -x^2 + 3x - 1 \geqslant 0 \) dla \( x \in \left[\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right] \).

Chcemy wyznaczyć miejsca zerowe trójmianu kwadratowego, określić położenie ramion paraboli i odczytać rozwiązanie nierówności.

• Najpierw rozwiązujemy równanie pomocnicze [szukamy miejsc zerowych]:
  $$ 3x^2 - 2x - 1 = 0 $$
• Korzystamy ze wzoru ogólnego na deltę:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy liczby (\( a = 3, b = -2, c = -1 \)):
  $$ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) $$
  $$ \Delta = 4 + 12 = 16 $$
• Obliczamy pierwiastek z delty:
  $$ \sqrt{\Delta} = \sqrt{16} = 4 $$
• Wyznaczamy pierwiastki \( x_1 \) oraz \( x_2 \) ze wzorów:
  $$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$
  $$ x_1 = \frac{-(-2) - 4}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$
  $$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$
  $$ x_2 = \frac{-(-2) + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 $$
• Szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry [ponieważ \( a = 3 > 0 \)] przechodzącą przez punkty \( -\frac{1}{3} \) oraz \( 1 \).
• Odczytujemy z wykresu, gdzie wartości są większe lub równe zero [szukamy fragmentów nad osią lub stykających się z nią].

Otrzymujemy sumę dwóch przedziałów domkniętych od zewnątrz.
Odpowiedź: \( x \in \left(-\infty; -\frac{1}{3}\right] \cup [1; \infty) \).

Chcemy znaleźć miejsca zerowe, naszkicować parabolę i odczytać przedział, w którym wartości są mniejsze bądź równe zeru.

• Rozwiązujemy równanie pomocnicze:
  $$ 2x^2 + x - 1 = 0 $$
• Wzór ogólny na deltę:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy dane (\( a = 2, b = 1, c = -1 \)):
  $$ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) $$
  $$ \Delta = 1 + 8 = 9 $$
• Pierwiastek z delty:
  $$ \sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3 $$
• Obliczamy pierwiastki:
  $$ x_1 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $$
  $$ x_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
• Szkicujemy parabolę skierowaną do góry [współczynnik \( a = 2 > 0 \)] przechodzącą przez \( -1 \) oraz \( \frac{1}{2} \).
• Odczytujemy z wykresu fragment znajdujący się pod osią \( OX \) [wartości ujemne lub zero].

Otrzymujemy przedział domknięty między pierwiastkami.
Odpowiedź: \( x \in \left[-1; \frac{1}{2}\right] \).

Chcemy wyznaczyć miejsca zerowe dla funkcji z ujemnym współczynnikiem przy \( x^2 \) i odczytać fragment nad osią.

• Rozwiązujemy równanie pomocnicze:
  $$ -x^2 + 2x + 4 = 0 $$
• Wzór ogólny na deltę:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy dane (\( a = -1, b = 2, c = 4 \)):
  $$ \Delta = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4 $$
  $$ \Delta = 4 + 16 = 20 $$
• Pierwiastek z delty:
  $$ \sqrt{\Delta} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $$
• Obliczamy pierwiastki:
  $$ x_1 = \frac{-2 - 2\sqrt{5}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 - 2\sqrt{5}}{-2} = 1 + \sqrt{5} $$
  $$ x_2 = \frac{-2 + 2\sqrt{5}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 + 2\sqrt{5}}{-2} = 1 - \sqrt{5} $$
• Szkicujemy parabolę skierowaną w dół [ponieważ \( a = -1 < 0 \)] przechodzącą przez miejsca zerowe \( 1 - \sqrt{5} \) oraz \( 1 + \sqrt{5} \).
• Odczytujemy z wykresu fragment znajdujący się nad osią \( OX \) [nierówność ostra, więc przedział otwarty].

Otrzymujemy przedział między pierwiastkami.
Odpowiedź: \( x \in (1 - \sqrt{5}; 1 + \sqrt{5}) \).

Chcemy rozpoznać przypadek szczególny, w którym delta wynosi zero i parabola ma tylko jeden punkt wspólny z osią \( OX \).

• Rozwiązujemy równanie [szukamy miejsc zerowych]:
  $$ -x^2 + 2x - 1 = 0 $$
• Zauważamy wzór skróconego mnożenia lub zwijamy do postaci kanonicznej/iloczynowej [upraszczamy zapis]:
  $$ -(x - 1)^2 = 0 $$
• Wyznaczamy pierwiastek [jedyny punkt zerowy]:
  $$ x = 1 $$
  [jest to pierwiastek podwójny, co oznacza, że wykres dotyka osi \( OX \) w jednym punkcie i w całości leży pod nią, bo ramiona są skierowane w dół].
• Rozwiązanie równania zaznaczamy na osi \( OX \) i szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych w dół.
• Ze szkicu wykresu odczytujemy rozwiązanie [szukamy wartości \( \geqslant 0 \); jedynym miejscem spełniającym ten warunek jest sam wierzchołek dotykający osi].

Jedynym rozwiązaniem jest pojedyncza liczba.
Odpowiedź: \( -x^2 + 2x - 1 \geqslant 0 \) dla \( x = 1 \).

Chcemy zbadać, kiedy ta sama parabola jest mniejsza bądź równa zeru.

• Z postaci z Przykładu 3 wiemy, że równanie ma pierwiastek podwójny \( x = 1 \) oraz ramiona skierowane w dół [cała parabola leży pod osią \( OX \), a w punkcie \( 1 \) ma wartość zero].
• Sprawdzamy warunek \( \leqslant 0 \) [szukamy wartości ujemnych lub równych zeru].
• Ponieważ cała parabola poza wierzchołkiem jest pod osią, a w wierzchołku wynosi zero, warunek jest spełniony dla każdej liczby rzeczywistej.

Rozwiązaniem jest cała oś liczbowa.
Odpowiedź: \( x \in \mathbb{R} \).

Chcemy sprawdzić, kiedy wyrażenie jest ściśle mniejsze od zera.

• Korzystamy z faktu, że \( -(x-1)^2 < 0 \) dla każdego \( x \) różnego od \( 1 \) [kwadrat wyrażenia jest zawsze nieujemny, a minus przed nim czyni go niedodatnim].
• Wykluczamy punkt, w którym wartość wynosi dokładnie zero (\( x = 1 \)).

Wszystkie liczby oprócz jedynki.
Odpowiedź: \( x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty) \) (lub \( x \neq 1 \)).

Chcemy sprawdzić, czy wyrażenie może być ściśle większe od zera.

• Wiemy, że parabola skierowana w dół dotyka osi w punkcie \( 1 \), a jej pozostałe punkty leżą pod osią \( OX \) [wartości są ujemne lub równe zero].
• Szukamy wartości ściśle dodatnich (> 0), których wykres w ogóle nie osiąga.

Brak rozwiązań.
Odpowiedź: Nierówność sprzeczna (brak rozwiązań / \( x \in \emptyset \)).

Chcemy sprawdzić deltę dla trójmianu, którego wykres nie posiada miejsc zerowych.

• Obliczamy deltę ze wzoru ogólnego:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy dane (\( a = 5, b = -3, c = 2 \)):
  $$ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 $$
  $$ \Delta = 9 - 40 = -31 $$
• Zauważamy, że \( \Delta = -31 < 0 \) [brak rozwiązań równania kwadratowego].
• Równanie \( 5x^2 - 3x + 2 = 0 \) nie ma pierwiastków oraz współczynnik przy \( x^2 \) jest dodatni [\( a = 5 > 0 \)].
• Parabola znajduje się całkowicie nad osią \( OX \) [ramiona skierowane do góry, wierzchołek ponad osią].
• Sprawdzamy szukany warunek mniejszości (< 0) [szukamy wartości ujemnych, których wykres nie posiada].

Skoro wykres jest w całości nad osią, nierówność nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: Nierówność sprzeczna (brak rozwiązań / \( x \in \emptyset \)).

Chcemy zbadać znak ujemnego trójmianu z ujemną deltą.

• Obliczamy deltę ze wzoru ogólnego:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy dane (\( a = -3, b = 2, c = -1 \)):
  $$ \Delta = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) $$
  $$ \Delta = 4 - 12 = -8 $$
• Zauważamy, że \( \Delta = -8 < 0 \) [brak miejsc zerowych].
• Równanie \( -3x^2 + 2x - 1 = 0 \) nie ma pierwiastków oraz współczynnik przy \( x^2 \) jest ujemny [\( a = -3 < 0 \)].
• Parabola znajduje się całkowicie pod osią \( OX \) [ramiona skierowane w dół].
• Sprawdzamy warunek mniejszości (< 0) [szukamy wartości ujemnych]. Ponieważ cały wykres leży pod osią, warunek jest spełniony dla każdej liczby.

Nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej.
Odpowiedź: \( x \in \mathbb{R} \).

Chcemy zbadać znak trójmianu o dodatnim współczynniku i ujemnej dacie.

• Liczymy deltę:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy (\( a = 4, b = 2, c = 1 \)):
  $$ \Delta = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 $$
• Ponieważ \( \Delta < 0 \) oraz \( a = 4 > 0 \), parabola leży całkowicie nad osią \( OX \) [wartości są zawsze dodatnie].
• Sprawdzamy warunek większości (> 0), który zachodzi zawsze.

Odpowiedź: \( x \in \mathbb{R} \).

Chcemy sprawdzić nierówność dla trójmianu stale dodatniego.

• Liczymy deltę:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy (\( a = 1, b = 1, c = 3 \)):
  $$ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 $$
• Ponieważ \( \Delta < 0 \) oraz \( a = 1 > 0 \), parabola leży całkowicie nad osią \( OX \) [wartości są stale dodatnie].
• Szukamy wartości mniejszych od zera (< 0), których ta parabola nie przyjmuje.

Odpowiedź: Nierówność sprzeczna (brak rozwiązań / \( x \in \emptyset \)).

Chcemy zbadać znak ujemnego trójmianu z pierwiastkiem w współczynniku.

• Liczymy deltę:
  $$ \Delta = b^2 - 4ac $$
• Podstawiamy (\( a = -2, b = \sqrt{2}, c = -1 \)):
  $$ \Delta = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 2 - 8 = -6 $$
• Ponieważ \( \Delta < 0 \) oraz \( a = -2 < 0 \), parabola leży całkowicie pod osią \( OX \) [wartości są stale ujemne].
• Szukamy wartości mniejszych bądź równych zeru (\( \leqslant 0 \)), co jest spełnione przez każdy punkt wykresu.

Odpowiedź: \( x \in \mathbb{R} \).

Chcemy sprowadzić nierówność do postaci ogólnej poprzez wykonanie mnożenia i uporządkowanie wyrazów.

• [Wykonujemy mnożenie nawiasów po obu stronach]:
  $$ 4 - 2x < -x^2 + 3x $$
• [Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności, zmieniając ich znaki na przeciwne]:
  $$ 4 - 2x + x^2 - 3x < 0 $$
• [Porządkujemy wyrazy malejąco według potęg \( x \)]:
  $$ x^2 - 5x + 4 < 0 $$
• Rozwiązujemy równanie pomocnicze [szukamy miejsc zerowych]:
  $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$
• Liczymy deltę lub zauważamy wzór (\( a = 1, b = -5, c = 4 \)):
  $$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $$
  $$ \sqrt{\Delta} = 3 $$
• Wyznaczamy pierwiastki:
  $$ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 $$
  $$ x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 $$
• Szkicujemy parabolę skierowaną do góry [bo \( a = 1 > 0 \)] i odczytujemy przedział wartości mniejszych od zera [między pierwiastkami].

Otrzymujemy przedział otwarty.
Odpowiedź: Nierówność jest spełniona dla \( x \in (1; 4) \).

Chcemy uporządkować nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę.

• Przenosimy wyrazy na lewą stronę:
  $$ x - x^2 - 3 + 3x^2 \leqslant 0 $$
• Redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy:
  $$ 2x^2 + x - 3 \leqslant 0 $$
• Rozwiązujemy równanie pomocnicze:
  $$ 2x^2 + x - 3 = 0 $$
• Liczymy deltę (\( a = 2, b = 1, c = -3 \)):
  $$ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $$
  $$ \sqrt{\Delta} = 5 $$
• Wyznaczamy pierwiastki:
  $$ x_1 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} $$
  $$ x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$
• Szkicujemy parabolę skierowaną do góry i odczytujemy przedział wartości niedodatnich [między pierwiastkami włącznie].

Odpowiedź: \( x \in \left[-\frac{3}{2}; 1\right] \).

Chcemy wykonać mnożenie algebraiczne i sprowadzić nierówność do postaci kwadratowej.

• Wymnażamy nawias po lewej stronie:
  $$ -2x + x^2 > 1 - x^2 $$
• Przenosimy wszystko na lewą stronę:
  $$ -2x + x^2 - 1 + x^2 > 0 $$
• Porządkujemy wyrazy:
  $$ 2x^2 - 2x - 1 > 0 $$
• Liczymy deltę (\( a = 2, b = -2, c = -1 \)):
  $$ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12 $$
  $$ \sqrt{\Delta} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $$
• Wyznaczamy pierwiastki:
  $$ x_1 = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} $$
  $$ x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} $$
• Szkicujemy parabolę skierowaną do góry i odczytujemy przedziały na zewnątrz miejsc zerowych.

Odpowiedź: \( x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}; \infty\right) \).

Chcemy rozwinąć wzór skróconego mnożenia i uprościć ułamki.

• Rozwijamy kwadrat sumy po lewej stronie \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):
  $$ \frac{1}{9}x^2 + \frac{2}{9}x + \frac{1}{9} > \frac{2}{3}x - \frac{8}{3} $$
• Mnożymy obie strony nierówności przez \( 9 \), aby pozbyć się ułamków [ułatwiamy obliczenia]:
  $$ x^2 + 2x + 1 > 6x - 24 $$
• Przenosimy wyrazy na lewą stronę:
  $$ x^2 + 2x + 1 - 6x + 24 > 0 $$
• Redukujemy wyrazy podobne:
  $$ x^2 - 4x + 25 > 0 $$
• Liczymy deltę (\( a = 1, b = -4, c = 25 \)):
  $$ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 16 - 100 = -84 $$
• Ponieważ \( \Delta < 0 \) oraz \( a = 1 > 0 \), parabola leży całkowicie nad osią \( OX \) i jej wartości są zawsze dodatnie.

Odpowiedź: \( x \in \mathbb{R} \).

Chcemy rozwinąć kwadrat różnicy po prawej stronie i przekształcić nierówność.

• Rozwijamy kwadrat po prawej stronie \( (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2 \):
  $$ 2 - x^2 < 4 - 4x + x^2 $$
• Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
  $$ 2 - x^2 - 4 + 4x - x^2 < 0 $$
• Porządkujemy wyrazy:
  $$ -2x^2 + 4x - 2 < 0 $$
• Dzielimy obustronnie przez \( -2 \) [pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny!]:
  $$ x^2 - 2x + 1 > 0 $$
• Zauważamy wzór skróconego mnożenia:
  $$ (x - 1)^2 > 0 $$
• Analizujemy wyrażenie: kwadrat każdej liczby różnej od zera jest dodatni. Wyrażenie jest więc dodatnie dla każdego \( x \neq 1 \).

Odpowiedź: \( x \in (-\infty; 1) \cup (1; \infty) \) (lub \( x \neq 1 \)).

Chcemy rozwinąć oba kwadraty sumy/różnicy i uprościć wyrażenie do postaci ogólnej.

• Rozwijamy nawiasy:
  $$ (4x^2 + 4x + 1) + (x^2 - 6x + 9) < 10 $$
• Opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy:
  $$ 5x^2 - 2x + 10 < 10 $$
• Przenosimy \( 10 \) na lewą stronę:
  $$ 5x^2 - 2x < 0 $$
• Wyłączamy czynnik przed nawias:
  $$ x(5x - 2) < 0 $$
• Wyznaczamy miejsca zerowe:
  $$ x = 0 \quad \text{lub} \quad x = \frac{2}{5} $$
• Szkicujemy parabolę skierowaną do góry i odczytujemy przedział wartości ujemnych.

Odpowiedź: \( x \in \left(0; \frac{2}{5}\right) \).

Chcemy uwzględnić minus przed rozwijanym kwadratem i uporządkować nierówność.

• Rozwijamy kwadrat w nawiasie pamiętając o minusie stojącym przed nim:
  $$ 3x - (1 - 2x + x^2) \geqslant x^2 - 4 $$
  $$ 3x - 1 + 2x - x^2 \geqslant x^2 - 4 $$
• Przenosimy wszystko na lewą stronę:
  $$ -2x^2 + 5x + 3 \geqslant 0 $$
• Mnożymy obustronnie przez \( -1 \) [zmieniając zwrot nierówności]:
  $$ 2x^2 - 5x - 3 \leqslant 0 $$
• Rozwiązujemy równanie pomocnicze (\( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \)):
  $$ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 $$
  $$ \sqrt{\Delta} = 7 $$
  $$ x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2} $$
  $$ x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3 $$
• Szkicujemy parabolę skierowaną do góry i odczytujemy przedział wartości niedodatnich.

Odpowiedź: \( x \in \left[-\frac{1}{2}; 3\right] \).