Chcemy znaleźć postać iloczynową obu funkcji, czyli wzory z nawiasami zawierającymi miejsca zerowe. Najpierw znajdujemy pierwiastki z postaci kanonicznej funkcji \( f \), a potem używamy tych samych pierwiastków do zbudowania wzoru funkcji \( g \).

Zapisujemy funkcję \( f \) w postaci kanonicznej, znając \( a = \frac{1}{2} \) oraz \( W = (3, -2) \):

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji \( f \), przyrównując ją do zera [żeby wyznaczyć x1 i x2]:

Stąd otrzymujemy dwa równania:

Zapisujemy wzór funkcji \( f \) w postaci iloczynowej:

Teraz wyznaczamy współczynnik \( d \) dla funkcji \( g(x) = dx^2 + 18x + e \). Ponieważ \( g \) ma te same miejsca zerowe \( x_1 = 5 \) i \( x_2 = 1 \), to jej wierzchołek leży w tej samej współrzędnej \( x_w = p = 3 \):

Zapisujemy wzór funkcji \( g \) w postaci iloczynowej z wyznaczonym \( d = -3 \):

Wyznaczyliśmy postaci iloczynowe obu funkcji.
Odpowiedź: \( f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)(x - 5) \) oraz \( g(x) = -3(x - 1)(x - 5) \).

Chcemy znaleźć wzór nowej funkcji \( g \) po odbiciu symetrycznym względem poziomej prostej \( y = -4 \), a następnie zapisać go w postaci iloczynowej.

Wyznaczamy wierzchołek funkcji \( f(x) \):

Wierzchołek funkcji \( f \) to \( W_f = (5, -9) \).

Wykres \( g \) powstaje przez odbicie symetryczne wykresu \( f \) względem prostej \( y = -4 \). Współczynnik \( a \) zmienia znak na przeciwny (\( a_g = -1 \)). Współrzędna \( x \) wierzchołka nie ulega zmianie (\( p_g = 5 \)). Odległość \( q_f = -9 \) od prostej \( y = -4 \) wynosi 5 jednostek w dół. Po odbiciu wierzchołek \( g \) leży 5 jednostek w górę od prostej \( y = -4 \):

Wierzchołek funkcji \( g \) to \( W_g = (5, 1) \). Zapisujemy funkcję \( g \) w postaci kanonicznej:

Szukamy miejsc zerowych funkcji \( g \):

Zapisujemy postać iloczynową funkcji \( g \):

Odpowiedź: \( g(x) = -(x - 4)(x - 6) \).

Chcemy ułożyć wzór iloczynowy funkcji. Z treści wiemy, że jedno miejsce zerowe to zero, a oś symetrii pomoże nam znaleźć drugie miejsce zerowe.

Ponieważ wykres przechodzi przez \( (0,0) \), jedno z miejsc zerowych to \( x_1 = 0 \). Wyznaczamy drugie miejsce zerowe \( x_2 \), korzystając ze wzoru na oś symetrii:

Znamy oba miejsca zerowe (\( x_1 = 0, x_2 = 2 \)) oraz współczynnik \( a = \frac{2}{3} \). Podstawiamy te dane do wzoru postaci iloczynowej:

Odpowiedź: \( f(x) = \frac{2}{3}x(x - 2) \).

Rozwiązać równanie z wartością bezwzględną, by znaleźć miejsca zerowe, a następnie wyznaczyć współczynnik \( a \) za pomocą wierzchołka zadanego przez zbiór wartości.

Wyznaczamy iksową współrzędną wierzchołka:

Wierzchołek paraboli ma współrzędne \( W = (0, -8) \). Postać iloczynowa funkcji z nieznanym \( a \):

Podstawiamy punkt wierzchołka \( W(0, -8) \) do powyższego wzoru, aby wyznaczyć \( a \):

Zapisujemy ostateczną postać iloczynową:

Odpowiedź: \( f(x) = \frac{8}{25}(x + 5)(x - 5) \).

Skoro funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe, oznacza to, że jest to pierwiastek podwójny (\( \Delta = 0 \)). Budujemy wzór postaci iloczynowej i wyliczamy współczynnik \( a \) przy pomocy podanego punktu.

Zapisujemy postać iloczynową z podwójnym pierwiastkiem:

Podstawiamy dane z punktu \( P(-3, 2) \):

Podstawiamy \( a = \frac{1}{8} \) do postaci iloczynowej:

Odpowiedź: \( f(x) = \frac{1}{8}(x + 7)^2 \).

Znaleźć punkt wspólny na osi \( OY \) z prostą \( g(x) \), wykorzystać go do wyznaczenia współczynnika \( a \) w postaci iloczynowej, a na koniec wymnożyć wszystko do postaci ogólnej.

Wyznaczamy punkt przecięcia wykresu \( g(x) \) z oś \( OY \):

Wykorzystujemy postać iloczynową funkcji \( f \):

Podstawiamy punkt \( (0, -5) \), aby obliczyć \( a \):

Przekształcamy do postaci ogólnej przez wymnożenie:

Odpowiedź: \( f(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x - 5 \).

Wykorzystać podany ułamek z wartościami funkcji dla \( x = -3 \) i \( x = 3 \), aby wyznaczyć niewiadomy współczynnik \( a \).

Zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej ze zmienną \( a \):

Obliczamy wartości \( f(-3) \) oraz \( f(3) \) wyrażone przez \( a \):

Podstawiamy otrzymane wyrażenia do równości:

Zapisujemy wzór funkcji:

Odpowiedź: \( f(x) = 3(x + 1)(x - 2) \).

Określić, w jakich przedziałach funkcje rosną, a w jakich maleją, znając położenie wierzchołka oraz zwrot ramion paraboli.

Dla funkcji \( f(x) = 4(x - 5)(x + 7) \):
\( a = 4 > 0 \) (ramiona w górę), miejsca zerowe: \( x_1 = 5, x_2 = -7 \).

Funkcja \( f \) jest malejąca w przedziale \( (-\infty; -1\rangle \), a rosnąca w przedziale \( \langle -1; \infty) \).

Dla funkcji \( g(x) = -(x - 8)(x - 2) \):
\( a = -1 < 0 \) (ramiona w dół), miejsca zerowe: \( x_1 = 8, x_2 = 2 \).

Funkcja \( g \) jest rosnąca w przedziale \( (-\infty; 5\rangle \), a malejąca w przedziale \( \langle 5; \infty) \).

Funkcja \( f \): malejąca w \( (-\infty; -1\rangle \), rosnąca w \( \langle -1; \infty) \).
Funkcja \( g \): rosnąca w \( (-\infty; 5\rangle \), malejąca w \( \langle 5; \infty) \).

Zauważyć, że punkty z iksem i zerem na końcu to miejsca zerowe, użyć ich do ułożenia postaci iloczynowej, a trzeci punkt wykorzystać do znalezienia \( a \). Na koniec przeliczyć to na postać ogólną.

Zapisujemy postać iloczynową na podstawie miejsc zerowych:

Podstawiamy punkt \( P(1, 2) \):

Wstawiamy wyliczone \( a = -\frac{1}{3} \) i przekształcamy do postaci ogólnej:

Odpowiedź: \( f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x + 2 \).

Wyznaczyć wierzchołek ze zbioru wartości i średniej pierwiastków, wyliczyć współczynnik \( a \), a następnie przejść do postaci ogólnej.

Wyznaczamy iksową współrzędną wierzchołka:

Zapisujemy postać iloczynową ze zmienną \( a \):

Podstawiamy punkt wierzchołka \( (2, 8) \):

Przekształcamy wzór z \( a = -\frac{1}{2} \) do postaci ogólnej:

Odpowiedź: \( f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 6 \).

Znaleźć miejsca zerowe z postaci iloczynowej, aby obliczyć oś symetrii \( x = x_w \), a potem wyznaczyć igrek wierzchołka.

Obliczamy miejsca zerowe przyrównując nawiasy do zera:

Wyznaczamy \( x_w \):

Równanie osi symetrii to \( x = -1 \). Obliczamy \( y_w \) podstawiając \( x_w = -1 \):

Oś symetrii: \( x = -1 \); Wierzchołek: \( W(-1, -18) \).

Ułożyć wzór z pierwiastków i odczytać niewiadome współczynniki \( b \) i \( c \).

Zapisujemy postać iloczynową z \( a = -1 \):

Wymnażamy nawiasy:

Porównujemy wzór z postacią \( y = -x^2 + bx + c \):

Odpowiedź: \( b = -2 \) oraz \( c = 3 \).

Rozwinąć oba trójmiany do postaci ogólnej, dodać i odjąć je od siebie, a następnie policzyć delty i zapisać postacie iloczynowe.

Przekształcamy funkcje do postaci ogólnej:

Wyznaczamy \( h(x) = f(x) + g(x) \):

Wyznaczamy \( k(x) = f(x) - g(x) \):

\( h(x) = 5(x - 3)(x - 5) \) oraz \( k(x) = -(x - 3)(x - 5) \).

Dla pierwszego trójmianu przejść z postaci kanonicznej na iloczynową (szukamy pierwiastków), a dla drugiego przejść z iloczynowej na kanoniczną (szukamy wierzchołka).

Przekształcamy \( T_1 \):

Przekształcamy \( T_2 \):

Miejsca zerowe: \( x_1 = 11, x_2 = 5 \).

\( T_1 \) w postaci iloczynowej: \( y = -3(x + 4)(x + 10) \)
\( T_2 \) w postaci kanonicznej: \( y = 2(x - 8)^2 - 18 \)

Rozwinąć wszystkie podane funkje do postaci ogólnej, wymnażając je, i porównać ze sobą otrzymane wzory.

Rozwijamy trójmian A: \( y = (x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10 \) (jest równy Z).

Rozwijamy trójmian B: \( y = (x - 8)(x + 4) = x^2 - 4x - 32 \).

Rozwijamy trójmian Y: \( y = (x - 2)^2 - 36 = x^2 - 4x - 32 \) (jest równy B).

A pasuje do Z, a B pasuje do Y.

Przekształcić każdy wzór do postaci ogólnej \( ax^2 + bx + c \), aby wyciągnąć z niego współczynniki i policzyć deltę ze wzoru.

a) \( y = -3(x^2 - x - 20) = -3x^2 + 3x + 60 \implies \Delta = 3^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 60 = 729 \)

b) \( y = 10x^2 + 11x - 6 \implies \Delta = 11^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-6) = 361 \)

c) \( y = 10 - (x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x + 6 \implies \Delta = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 6 = 49 \)

a) \( \Delta = 729 \)
b) \( \Delta = 361 \)
c) \( \Delta = 49 \)

Znaleźć miejsca zerowe (przecięcie z osią \( OX \)) przyrównując funkcję do zera oraz punkt przecinający oś \( OY \) (wstawiając zero za iks).

Oś \( OX \) (\( y = 0 \)):

Oś \( OY \) (\( x = 0 \)):

Z osią \( OX \): \( (-2, 0) \) i \( (3, 0) \); z osią \( OY \): \( (0, -2\sqrt{2}) \).

Wykazać, że wyróżnik \( \Delta \) jest ujemny, co oznacza brak pierwiastków i brak możliwości rozłożenia trójmianu na czynniki liniowe.

Obliczamy wyróżnik \( \Delta \):

Stosujemy wzór skróconego mnożenia:

Wyróżnik \( \Delta = -4 < 0 \), co dowodzi, że trójmianu nie można przedstawić w postaci iloczynowej.

Wyznaczyć delty, policzyć pierwiastki i wpisać je do wzoru na postać iloczynową.

a) \( \Delta = 25 - 16 = 9 \implies \sqrt{\Delta} = 3 \)

b) \( \Delta = 12 + 4 = 16 \implies \sqrt{\Delta} = 4 \)

a) \( y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 2) \)
b) \( y = -(x - 2 + \sqrt{3})(x + 2 + \sqrt{3}) \)

Odczytać miejsca zerowe bezpośrednio ze wzoru postaci iloczynowej, przyrównując poszczególne nawiasy do zera.

a) \( x - 8 = 0 \implies x_1 = 8 \); \( x + 5 = 0 \implies x_2 = -5 \)

b) \( x - \sqrt{2} = 0 \implies x_1 = \sqrt{2} \); \( x + 2 - \sqrt{3} = 0 \implies x_2 = -2 + \sqrt{3} \)

a) Pierwiastki to \( x_1 = 8 \) oraz \( x_2 = -5 \).
b) Pierwiastki to \( x_1 = \sqrt{2} \) oraz \( x_2 = -2 + \sqrt{3} \).

Wyznaczyć wierzchołek paraboli i wybrać poprawną odpowiedź na podstawie zwrotu ramion paraboli.

Ponieważ \( a = -1 < 0 \), funkcja jest malejąca w przedziale \( (-1; \infty) \).

Odpowiedź: D.

Znaleźć miejsca zerowe z delty i wstawić je razem z \( a = -\frac{1}{2} \) do wzoru.

Odpowiedź: C.

Odczytać miejsca zerowe z postaci iloczynowej, przyrównując iksy do zera.

Odpowiedź: C.

Odczytać z nawiasów dwa pierwiastki i pomnożyć je przez siebie.

\( x_1 = -2 \), \( x_2 = 7 \)

Odpowiedź: C.