1.3. Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (1)

Definicja

• Postać: $y = ax^2 + bx + c$, gdzie $a, b, c \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$, nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej.
• Postać: $y = a(x - p)^2 + q$, gdzie $a, p, q \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$, nazywamy postacią kanoniczną funkcji kwadratowej. [na chłopski rozum: postać kanoniczna od razu daje nam na tacy współrzędne "czubka" paraboli, czyli wierzchołka $(p, q)$, natomiast postać ogólna to wymnożona, rozpisana funkcja z osobno stojącym $x^2$, $x$ oraz czystą liczbą].

Funkcję kwadratową nazywamy też trójmianem kwadratowym. [na chłopski rozum: nazwa wzięła się stąd, że wzór ma trzy części połączone znakami plus/minus: coś z $x^2$, coś z $x$ i samą liczbę].

---

Ćwiczenie 1

Przeczytaj przykłady w ramce pokazujące, w jaki sposób przejść od postaci kanonicznej funkcji kwadratowej do postaci ogólnej.

Przykład 1 (z podręcznika)

• $y = 3(x - 4)^2 - 7$ (Postać kanoniczna)
  • Korzystamy ze wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$.
  • Mnożymy przez $3$: $y = 3(x^2 - 8x + 16) - 7 = 3x^2 - 24x + 48 - 7$.
  • Otrzymujemy postać ogólną: $y = 3x^2 - 24x + 41$.
• $y = -4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 1$ (Postać kanoniczna)
  • Korzystamy ze wzoru $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + x + \frac{1}{4}$.
  • Mnożymy przez $-4$: $y = -4\left(x^2 + x + \frac{1}{4}\right) + 1 = -4x^2 - 4x - 1 + 1$.
  • Otrzymujemy postać ogólną: $y = -4x^2 - 4x$.

---

Przechodzenie od postaci ogólnej do postaci kanonicznej (Uzupełnienie do kwadratu)

Aby przejść od postaci ogólnej funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej, należy zastosować uzupełnienie do kwadratu. [na chłopski rozum: przekształcamy początek wyrażenia tak, aby zwinąć go we wzór skróconego mnożenia, dodając i od razu odejmując tę samą liczbę, dzięki czemu wartość funkcji się nie zmienia].

Przykład 1 (z podręcznika)

Przedstaw funkcję kwadratową w postaci kanonicznej.

• a) $y = x^2 + 6x + 10$ (Postać ogólna)
  • Współczynnik $6$ zapisujemy jako $2 \cdot 3$.
  • Dodajemy $9 = 3^2$, czyli uzupełniamy wyrażenie $x^2 + 2 \cdot 3x$ do kwadratu, i odejmujemy $9$.
  • $y = (x^2 + 2 \cdot 3x + 3^2) - 9 + 10$
  • Korzystamy ze wzoru $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $y = (x + 3)^2 - 9 + 10$.
  • $y = (x + 3)^2 + 1$ (Postać kanoniczna).
• b) $y = x^2 - x - 2$ (Postać ogólna)
  • Współczynnik $-1$ zapisujemy jako $-2 \cdot \frac{1}{2}$.
  • Dodajemy i odejmujemy $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.
  • $y = x^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2$
  • Korzystamy ze wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $y = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - 2$.
  • $y = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$ (Postać kanoniczna).

---

Twierdzenie (Współrzędne wierzchołka paraboli i wyróżnik)

Parabola $y = ax^2 + bx + c$ ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych:

• $x_w = -\frac{b}{2a}$
• $y_w = -\frac{\Delta}{4a}$

gdzie $\Delta = b^2 - 4ac$, $a \neq 0$.
Wyrażenie $\Delta$ nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego. [na chłopski rozum: wyróżnik, zwany potocznie deltą, to specjalny wzór pomocniczy z liter $a, b, c$, który pomaga błyskawicznie policzyć wysokość wierzchołka oraz wskazuje właściwości paraboli].

Dowód twierdzenia (z podręcznika)

$$y = ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left(x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a}x\right) + c =$$ $$= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}$$

Jest to postać kanoniczna funkcji $y = a(x - p)^2 + q$ dla $p = -\frac{b}{2a}$ i $q = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$, zatem $x_w = -\frac{b}{2a}$, $y_w = -\frac{\Delta}{4a}$.

---

Przykład 2 (z podręcznika)

Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego $y = -x^2 + 5x - 2$.

• Współczynniki trójmianu: $a = -1$, $b = 5$ i $c = -2$.
• $\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 25 - 8 = 17$.

---

Zadania treningowe z Testów Nowej Ery do tego tematu

Zadanie 6 (Grupa A) (.../4 p.)

Dla trójmianu kwadratowego $f(x) = ax^2 + bx + c$ dane są trzy spośród czterech wartości: $a, b, c$, wyróżnik $\Delta$. Oblicz brakujący element tego zestawu danych:

• a) $a = 3$, $b = 2$, $c = -1$
• b) $a = 5$, $b = -3$, $\Delta = -31$
• c) $b = 8$, $c = -3$, $\Delta = 76$
• d) $a = -2$, $c = -5$, $\Delta = -4$

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

• a) Szukamy $\Delta$. Korzystamy ze wzoru $\Delta = b^2 - 4ac$: $$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$
• b) Szukamy $c$. Podstawiamy dane do wzoru na $\Delta$: $$-31 = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot c$$ $$-31 = 9 - 20c$$ $$20c = 9 + 31 \implies 20c = 40 \implies c = 2$$
• c) Szukamy $a$. Podstawiamy dane do wzoru na $\Delta$: $$76 = 8^2 - 4 \cdot a \cdot (-3)$$ $$76 = 64 + 12a$$ $$12a = 76 - 64 \implies 12a = 12 \implies a = 1$$
• d) Szukamy $b$. Podstawiamy dane do wzoru na $\Delta$: $$-4 = b^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5)$$ $$-4 = b^2 - 40$$ $$b^2 = 36 \implies b = 6 \quad \text{lub} \quad b = -6$$

---

Zadanie 48 (Grupa A) (.../2 p.)

Przedstaw funkcję kwadratową $f(x) = -\frac{1}{4}(x - 4)^2 + 5$ w postaci ogólnej i oblicz jej wyróżnik.

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Przekształcamy wzór z postaci kanonicznej do ogólnej, stosując wzór skróconego mnożenia $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$: $$f(x) = -\frac{1}{4}(x^2 - 8x + 16) + 5$$ $$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x - 4 + 5$$ $$f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 1 \quad \text{(postać ogólna)}$$
2. Odczytujemy współczynniki: $a = -\frac{1}{4}$, $b = 2$, $c = 1$.
3. Obliczamy wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$: $$\Delta = 2^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 1 = 4 + 1 = 5$$

---

Zadanie 50 (Grupa A) (.../3 p.)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których wyróżnik trójmianu kwadratowego $y = (m - 2)x^2 + 3x + m + 2$ jest równy $0$. Dla otrzymanych wartości $m$ przedstaw ten trójmian w postaci kanonicznej.

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Odczytujemy współczynniki trójmianu: $a = m - 2$, $b = 3$, $c = m + 2$.
2. Zapisujemy wzór na wyróżnik $\Delta$ i przyrównujemy go do $0$: $$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (m - 2)(m + 2) = 0$$ $$9 - 4(m^2 - 4) = 0$$ $$9 - 4m^2 + 16 = 0 \implies 25 - 4m^2 = 0 \implies 4m^2 = 25 \implies m^2 = \frac{25}{4}$$ Otrzymujemy dwie wartości parametru: $m = \frac{5}{2} = 2{,}5$ lub $m = -\frac{5}{2} = -2{,}5$.
3. Wyznaczamy postać kanoniczną dla każdej wartości $m$:
   • Dla $m = 2{,}5$:
     $a = 2{,}5 - 2 = 0{,}5$. Wzór funkcji: $y = 0{,}5x^2 + 3x + 4{,}5$.
     Obliczamy $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 0{,}5} = -3$.
     Ponieważ $\Delta = 0$, współrzędna $q = -\frac{\Delta}{4a} = 0$.
     Postać kanoniczna $y = a(x - p)^2 + q$: $y = 0{,}5(x + 3)^2$.
   • Dla $m = -2{,}5$:
     $a = -2{,}5 - 2 = -4{,}5$. Wzór funkcji: $y = -4{,}5x^2 + 3x - 0{,}5$.
     Obliczamy $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-4{,}5)} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
     Współrzędna $q = 0$.
     Postać kanoniczna: $y = -4{,}5\left(x - \frac{1}{3}\right)^2$.

---

Zadanie 51 (Grupa A) (.../2 p.)

Dla jakiej wartości parametru $m$ wyróżnik trójmianu kwadratowego $y = 2(x - 5)^2 + 3m - 12$ jest równy $0$?

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Wzorując się na postaci kanonicznej $y = a(x - p)^2 + q$, widzenie współczynników daje: $a = 2$, $p = 5$, $q = 3m - 12$.
2. Wiemy z twierdzenia, że $q = -\frac{\Delta}{4a}$.
3. Jeśli $\Delta = 0$, to druga współrzędna wierzchołka $q$ musi wynosić $0$.
4. Przyrównujemy $q$ do zera: $$3m - 12 = 0 \implies 3m = 12 \implies m = 4$$

---

Zadanie 53 (Grupa A) (.../2 p.)

Dla jakich wartości parametru $m$ wyróżnik trójmianu kwadratowego $y = -3x^2 + 8x - m - 5$ jest ujemny?

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Odczytujemy współczynniki trójmianu: $a = -3$, $b = 8$, $c = -m - 5$.
2. Wyznaczamy wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$: $$\Delta = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-m - 5) = 64 + 12(-m - 5) = 64 - 12m - 60 = 4 - 12m$$
3. Zapisujemy warunek ujemności wyróżnika ($\Delta < 0$): $$4 - 12m < 0 \implies -12m < -4 \implies m > \frac{-4}{-12} \implies m > \frac{1}{3}$$

---

Zadanie 55 (Grupa A) (.../1 p.)

Wskaż postać ogólną funkcji kwadratowej $f(x) = -(x + 3)^2 + 11$.

• A. $f(x) = -x^2 + 2$
• B. $f(x) = -x^2 - 6x + 2$
• C. $f(x) = -x^2 + 6x + 20$
• D. $f(x) = -x^2 + 6x + 2$

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
2. Podstawiamy i opuszczamy nawias z uwzględnieniem minusa: $$f(x) = -(x^2 + 6x + 9) + 11 = -x^2 - 6x - 9 + 11 = -x^2 - 6x + 2$$
3. Prawidłowa odpowiedź: B

---

1.4. Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (2)

Przykład 1 (z podręcznika)

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli $y = -x^2 + 6x - 5$. Naszkicuj tę parabolę.

• Współczynniki: $a = -1$, $b = 6$, $c = -5$. $$x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{-2} = 3$$ $$\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 16$$ $$y_w = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{16}{-4} = 4$$
• Trójmian kwadratowy zapisujemy w postaci kanonicznej: $y = -(x - 3)^2 + 4$.
• Szukaną parabolę otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli $y = -x^2$ o $3$ jednostki w prawo i $4$ jednostki w górę.

---

Obliczanie drugiej współrzędnej wierzchołka poprzez wartość funkcji

Zauważmy, że jeśli wyznaczymy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$, to jego drugą współrzędną możemy obliczyć, korzystając z tego, że $y_w = f(x_w)$. [na chłopski rozum: zamiast męczyć się ze skomplikowanym wzorem z deltą, wystarczy wyliczoną pierwszą liczbę $x_w$ po prostu wstawić w miejsce $x$ do wzoru funkcji].

---

Przykład z ramki (Ćwiczenie 2 z podręcznika)

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f(x) = -2x^2 + 8x - 1$.

• $a = -2$, $b = 8$, więc $x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$.
• Współrzędna $y_w = f(x_w) = f(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 1 = -2 \cdot 4 + 16 - 1 = 7$.
• Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(2, 7)$.

---

Oś symetrii paraboli

Prosta o równaniu $x = -\frac{b}{2a}$ (czyli $x = x_w$) jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$. [na chłopski rozum: jest to pionowa linia przechodząca idealnie przez sam czubek paraboli, dzieląca ją na dwie symetryczne połówki jak w lustrze].

---

Przykład 2 (z podręcznika)

Prosta $x = 1$ jest osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f(x) = 3x^2 + bx - 4$. Oblicz współczynnik $b$.

• Osią symetrii paraboli jest prosta $x = -\frac{b}{2a}$, zatem $-\frac{b}{2 \cdot 3} = 1$. Stąd $b = -6$.

---

Przykład 3 (z podręcznika)

Wykresem funkcji $f$ jest parabola o wierzchołku $(3, -2)$. Punkt $P(4, 1)$ należy do tej paraboli. Zapisz wzór funkcji $f$ w postaciach kanonicznej i ogólnej.

1. Wzór funkcji zapisujemy w postaci kanonicznej: $f(x) = a(x - p)^2 + q$.
   Gdzie punkt $(p, q)$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f$: $f(x) = a(x - 3)^2 - 2$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $P$ do powyższego wzoru: $1 = a(4 - 3)^2 - 2$, czyli $a = 3$.
3. Zatem otrzymujemy postać kanoniczną funkcji: $f(x) = 3(x - 3)^2 - 2$.
4. Następnie wyznaczamy postać ogólną: $$f(x) = 3(x - 3)^2 - 2 = 3(x^2 - 6x + 9) - 2 = 3x^2 - 18x + 27 - 2 = 3x^2 - 18x + 25$$

---

Zadania treningowe z Testów Nowej Ery do tego tematu

Zadanie 3 (Grupa A) (.../1 p.)

Wskaż równanie prostej, do której należy wierzchołek paraboli, będącej wykresem trójmianu $y = 2x^2 - 20x + 53$.

• A. $3x - 2y - 9 = 0$
• B. $2x - 3y + 9 = 0$
• C. $5x - 3y + 8 = 0$
• D. $3x - 5y - 8 = 0$

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Odczytujemy współczynniki $a = 2$, $b = -20$, $c = 53$.
2. Liczymy pierwszą współrzędną wierzchołka $x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$.
3. Liczymy drugą współrzędną wierzchołka $y_w = f(5) = 2 \cdot 5^2 - 20 \cdot 5 + 53 = 50 - 100 + 53 = 3$.
4. Wierzchołek paraboli to punkt $W(5, 3)$.
5. Sprawdzamy, które równanie prostej spełniają liczby $x = 5$ i $y = 3$:
   • Dla równania A: $3 \cdot 5 - 2 \cdot 3 - 9 = 15 - 6 - 9 = 0$. Równość jest prawdziwa.
6. Prawidłowa odpowiedź: A

---

Zadanie 38 (Grupa A) (.../2 p.)

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu $y = 3x^2 + bx + 7$ jest równa $4$. Oblicz drugą współrzędną wierzchołka tej paraboli.

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Z treści zadania wiemy, że $a = 3$, $c = 7$ oraz $x_w = 4$.
2. Korzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka $x_w = -\frac{b}{2a}$: $$4 = -\frac{b}{2 \cdot 3} \implies 4 = -\frac{b}{6} \implies b = -24$$
3. Wzór funkcji brzmi $y = 3x^2 - 24x + 7$.
4. Obliczamy drugą współrzędną wierzchołka $y_w = f(x_w) = f(4)$: $$y_w = 3 \cdot 4^2 - 24 \cdot 4 + 7 = 3 \cdot 16 - 96 + 7 = 48 - 96 + 7 = -41$$

---

Zadanie 39 (Grupa A) (.../3 p.)

Który z punktów: $A = (-5, 7)$ czy $B = (8, 3)$ leży bliżej osi symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f(x) = 2x^2 - 4x + 9$? Odpowiedź uzasadnij.

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Wyznaczamy równanie osi symetrii paraboli $x = x_w = -\frac{b}{2a}$: $$x_w = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \implies \text{Oś symetrii: } x = 1$$
2. Obliczamy odległość od osi symetrii $x = 1$ pierwszej współrzędnej punktu $A(-5, 7)$: $$d_A = |1 - (-5)| = |1 + 5| = 6$$
3. Obliczamy odległość od osi symetrii $x = 1$ pierwszej współrzędnej punktu $B(8, 3)$: $$d_B = |1 - 8| = |-7| = 7$$
4. Porównujemy odległości: $6 < 7$, więc punkt $A$ leży bliżej osi symetrii.

---

Zadanie 46 (Grupa A) (.../2 p.)

Przedstaw funkcję $f(x) = 2x^2 + 8x + 5$ w postaci kanonicznej. Podaj zbiór wartości i przedziały monotoniczności tej funkcji.

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Wyznaczamy współrzędne wierzchołka $a = 2$, $b = 8$, $c = 5$: $$x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$$ $$y_w = f(-2) = 2 \cdot (-2)^2 + 8 \cdot (-2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$$
2. Zapisujemy postać kanoniczną $f(x) = a(x - x_w)^2 + y_w$: $$f(x) = 2(x + 2)^2 - 3$$
3. Wyznaczamy właściwości:
   • Zbiór wartości: Ponieważ $a = 2 > 0$, ramiona paraboli skierowane są w górę, stąd zbiór wartości to $\langle y_w, \infty) = \mathbf{\langle -3, \infty)}$.
   • Monotoniczność: Funkcja jest malejąca w przedziale $\mathbf{(-\infty, -2\rangle}$ oraz rosnąca w przedziale $\mathbf{\langle -2, \infty)}$.

---

Zadanie 47 (Grupa A) (.../1 p.)

Prosta o równaniu $x = -2$ jest osią symetrii paraboli $y = -4x^2 + bx - 9$. Wyznacz współczynnik $b$.

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Równanie osi symetrii paraboli wyraża się wzorem $x = -\frac{b}{2a}$.
2. Z treści zadania wynika, że $a = -4$ oraz $x_w = -2$.
3. Podstawiamy wartości: $$-2 = -\frac{b}{2 \cdot (-4)} \implies -2 = -\frac{b}{-8} \implies -2 = \frac{b}{8} \implies b = -16$$

---

Zadanie 52 (Grupa A) (.../2 p.)

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji $f(x) = 2x^2 - 24x + 80$. Oblicz odległość wierzchołka tej paraboli od punktu $O = (0, 0)$.

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Odczytujemy $a = 2$, $b = -24$, $c = 80$.
2. Liczymy współrzędne wierzchołka $W(x_w, y_w)$: $$x_w = -\frac{-24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$$ $$y_w = f(6) = 2 \cdot 6^2 - 24 \cdot 6 + 80 = 72 - 144 + 80 = 8$$ Wierzchołek ma współrzędne $W(6, 8)$.
3. Obliczamy odległość punktu $W(6, 8)$ od początku układu współrzędnych $O(0, 0)$: $$d = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

---

Zadanie 54 (Grupa A) (.../2 p.)

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji $f(x) = 4x^2 - 8x - 3$. Przedstaw tę funkcję w postaci kanonicznej.

Pełne, czytelne rozwiązanie krok po kroku:

1. Odczytujemy $a = 4$, $b = -8$, $c = -3$.
2. Liczymy współrzędne wierzchołka: $$x_w = -\frac{-8}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$$ $$y_w = f(1) = 4 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 - 3 = 4 - 8 - 3 = -7$$ Współrzędne wierzchołka to $W(1, -7)$.
3. Zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej $f(x) = a(x - x_w)^2 + y_w$: $$\mathbf{f(x) = 4(x - 1)^2 - 7}$$