Pełne rozwiązanie krok po kroku — podpunkt a:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Naszym celem jest wymnożenie wszystkich nawiasów, zredukowanie wyrazów podobnych i doprowadzenie równania do postaci trójmianu kwadratowego \(ax^2 + bx + c = 0\) [lub wyciągnięcie czynnika przed nawias].
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Mnożymy nawiasy oraz wyrażenia przed nawiasami:
     • Nawias \((x-3)(2x+6) = x \cdot 2x + x \cdot 6 - 3 \cdot 2x - 3 \cdot 6 = 2x^2 + 6x - 6x - 18 = 2x^2 - 18\)
     • Wyrażenie \(3(5x+6) = 15x + 18\)
     • Prawa strona \(5(3x+2) = 15x + 10\)
  2. Zapisujemy całe równanie po wymnożeniu:
     $$2x^2 - 18 + 15x + 18 = 15x + 10$$
  3. Upraszczamy lewą stronę (zauważamy, że \(-18\) i \(+18\) redukują się do \(0\)):
     $$2x^2 + 15x = 15x + 10$$
  4. Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę, aby po prawej otrzymać zero:
     $$2x^2 + 15x - 15x - 10 = 0$$
     $$2x^2 - 10 = 0$$
  5. Wyznaczamy \(x^2\):
     $$2x^2 = 10 \implies x^2 = 5$$
  6. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy. Pamiętamy, że równanie \(x^2 = 5\) ma dwa rozwiązania (dodatnie i ujemne):
     $$x = -\sqrt{5} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{5}$$
• Podsumowanie i wniosek: Równanie ma dwa rozwiązania: \(x = -\sqrt{5}\) oraz \(x = \sqrt{5}\).

---

Pełne rozwiązanie krok po kroku — podpunkt b:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Najpierw pozbywamy się ułamka (mianownika \(4\)), mnożąc obustronnie przez \(4\). Następnie wykonujemy mnożenie, przenosimy wszystko na jedną stronę i rozwiązujemy równanie kwadratowe.
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Mnożymy obie strony równania przez \(4\):
     $$(x-8)(x+5) = -20(x+2)$$
  2. Rozwijamy nawiasy po obu stronach:
     $$x^2 + 5x - 8x - 40 = -20x - 40$$
     $$x^2 - 3x - 40 = -20x - 40$$
  3. Przenosimy wszystko na lewą stronę:
     $$x^2 - 3x + 20x - 40 + 40 = 0$$
     $$x^2 + 17x = 0$$
  4. Rozkładamy na czynniki poprzez wyciągnięcie niewiadomej \(x\) przed nawias:
     $$x(x + 17) = 0$$
  5. Przyrównujemy każdy czynniki do zera:
     $$x = 0 \quad \text{lub} \quad x + 17 = 0 \implies x = -17$$
• Podsumowanie i wniosek: Rozwiązaniami równania są liczby \(x = 0\) oraz \(x = -17\).

Pełne rozwiązanie krok po kroku:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Mamy iloczyn trzech nawiasów równy zero. Iloczyn wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników (nawiasów) jest równy zero. Sprawdzamy każdy nawias osobno.
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Przyrównujemy pierwszy nawias do zera:
     $$4x^2 - 1 = 0 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{4}$$
     Stąd otrzymujemy dwa rozwiązania:
     $$x = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$
  2. Przyrównujemy drugi nawias do zera:
     $$4x^2 + 4 = 0 \implies 4x^2 = -4 \implies x^2 = -1$$
     Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej nie może być ujemny, więc ten nawias nie daje nam żadnego rozwiązania rzeczywistego (jest sprzeczny).
  3. Przyrównujemy trzeci nawias do zera:
     $$4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x = -\frac{1}{4}$$
• Podsumowanie i wniosek: Równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste: \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = \frac{1}{2}\) oraz \(x = -\frac{1}{4}\).

Pełne rozwiązanie krok po kroku — podpunkt a:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Zamiast mnożyć wszystko (co skomplikowałoby rachunki z pierwiastkami), przenosimy prawą stronę na lewą i wyciągamy wspólny nawias \((x-6)\) przed nawias.
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Przenosimy całe wyrażenie z prawej strony na lewą ze zmianą znaku:
     $$(4+\sqrt{3})(x-6) - (2x+\sqrt{3})(x-6) = 0$$
  2. Wyciągamy wspólny nawias \((x-6)\) przed nawias kwadratowy:
     $$(x-6) \cdot \left[ (4+\sqrt{3}) - (2x+\sqrt{3}) \right] = 0$$
  3. Upraszczamy drugi nawias:
     $$(x-6)(4 + \sqrt{3} - 2x - \sqrt{3}) = 0$$
     $$(x-6)(4 - 2x) = 0$$
  4. Przyrównujemy poszczególne czynniki do zera:
     • \(x - 6 = 0 \implies x = 6\)
     • \(4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2\)
• Podsumowanie i wniosek: Rozwiązaniami równania są liczby \(x = 6\) oraz \(x = 2\).

---

Pełne rozwiązanie krok po kroku — podpunkt b:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Podobnie jak w podpunkcie a), przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę i wyłączamy wspólny czynnik \((3x-7)\) przed nawias.
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Przenosimy prawą stronę na lewą:
     $$(5x+2)(3x-7) - (3x-7)(6+2x) = 0$$
  2. Wyciągamy \((3x-7)\) przed nawias:
     $$(3x-7) \cdot \left[ (5x+2) - (6+2x) \right] = 0$$
  3. Redukujemy wyrażenie w drugim nawiasie:
     $$(3x-7)(5x + 2 - 6 - 2x) = 0$$
     $$(3x-7)(3x - 4) = 0$$
  4. Przyrównujemy oba nawiasy do zera:
     • \(3x - 7 = 0 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\)
     • \(3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}\)
• Podsumowanie i wniosek: Rozwiązaniami równania są liczby \(x = 1\frac{1}{3}\) oraz \(x = 2\frac{1}{3}\).

Pełne rozwiązanie krok po kroku:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Możemy podnieść oba nawiasy do kwadratu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\), a następnie przenieść wszystko na jedną stronę i rozwiązać trójmian.
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Stosujemy wzory skróconego mnożenia:
     • Lewa strona: \((2x-5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25\)
     • Prawa strona: \((5x-2)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 - 20x + 4\)
  2. Zapisujemy równanie po rozwinięciu kwadratów:
     $$4x^2 - 20x + 25 = 25x^2 - 20x + 4$$
  3. Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę:
     $$4x^2 - 25x^2 - 20x + 20x + 25 - 4 = 0$$
     $$-21x^2 + 21 = 0$$
  4. Dzielimy obustronnie przez \(-21\):
     $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1$$
  5. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:
     $$x = -1 \quad \text{lub} \quad x = 1$$
• Podsumowanie i wniosek: Równanie ma dwa rozwiązania: \(x = -1\) oraz \(x = 1\).

Pełne rozwiązanie krok po kroku:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Jeśli liczby \(x_1 = 3\) oraz \(x_2 = 4\) są rozwiązaniami równania, to postać iloczynowa tego trójmianu ma postać \(a(x - 3)(x - 4) = 0\).
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Wymnażamy postać iloczynową dla \(a = 1\):
     $$(x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12$$
  2. Przyrównujemy do zera:
     $$x^2 - 7x + 12 = 0$$
  3. Porównujemy z odpowiedziami z treści zadania: pasuje odpowiedź B.
• Podsumowanie i wniosek: Prawidłową odpowiedzią jest B.

Pełne rozwiązanie krok po kroku:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Miejsca zerowe to takie argumenty \(x\), dla których wartość funkcji \(f(x)\) wynosi zero. Należy rozwiązać równanie \(2x^2 + 5x = 0\).
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Przyrównujemy wzór funkcji do zera:
     $$2x^2 + 5x = 0$$
  2. Wyciągamy \(x\) przed nawias (gdyż nie ma wyrazu wolnego \(c\)):
     $$x(2x + 5) = 0$$
  3. Przyrównujemy każdy czynniki do zera:
     • \(x = 0\)
     • \(2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}\)
• Podsumowanie i wniosek: Miejscami zerowymi funkcji są liczby \(x = 0\) oraz \(x = -2\frac{1}{2}\).

Pełne rozwiązania krok po kroku:

Podpunkt a:

1. Przenosimy \(36\) na prawą stronę:
   $$x^2 = 36$$
2. Pierwiastkujemy obuostronnie: \(x = -\sqrt{36}\) lub \(x = \sqrt{36}\).
3. Wynik: \(x = -6\) lub \(x = 6\).

Podpunkt b:

1. Dzielimy obustronnie przez \(9\):
   $$x^2 = \frac{1}{9}$$
2. Pierwiastkujemy obuostronnie:
   $$x = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$
3. Wynik: \(x = -\frac{1}{3}\) lub \(x = \frac{1}{3}\).

Podpunkt c:

1. Przenosimy \(x^2\) na prawą stronę:
   $$x^2 = 7$$
2. Pierwiastkujemy obuostronnie:
   $$x = -\sqrt{7} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{7}$$
3. Wynik: \(x = -\sqrt{7}\) lub \(x = \sqrt{7}\).

Podpunkt d:

1. Przenosimy \(16\) na prawą stronę:
   $$81x^2 = -16 \implies x^2 = -\frac{16}{81}$$
2. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej nie może być ujemny.
3. Wynik: Równanie jest sprzeczne (brak rozwiązań).

Pełne rozwiązania krok po kroku:

Podpunkt a:

1. Wyciągamy \(x\) przed nawias:
   $$x(8x - 3) = 0$$
2. Przyrównujemy czynniki do zera:
   • \(x = 0\)
   • \(8x - 3 = 0 \implies 8x = 3 \implies x = \frac{3}{8}\)
3. Wynik: \(x = 0\) oraz \(x = \frac{3}{8}\).

Podpunkt b:

1. Przenosimy \(21x\) na lewą stronę:
   $$7x^2 - 21x = 0$$
2. Wyciągamy \(7x\) przed nawias:
   $$7x(x - 3) = 0$$
3. Przyrównujemy do zera:
   • \(7x = 0 \implies x = 0\)
   • \(x - 3 = 0 \implies x = 3\)
4. Wynik: \(x = 0\) oraz \(x = 3\).

Podpunkt c:

1. Przenosimy wszystko na lewą stronę:
   $$x(x+5) - 4x(x+5) = 0$$
2. Wyciągamy wspólny nawias \((x+5)\) przed nawias:
   $$(x+5)(x - 4x) = 0$$
   $$(x+5)(-3x) = 0$$
3. Przyrównujemy czynniki do zera:
   • \(x + 5 = 0 \implies x = -5\)
   • \(-3x = 0 \implies x = 0\)
4. Wynik: \(x = -5\) oraz \(x = 0\).

Pełne rozwiązanie krok po kroku:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Najpierw wyznaczamy oba rozwiązania równania, a następnie dodajemy je do siebie i sprawdzamy typ otrzymanej liczby.
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Rozwiązujemy równanie:
     $$17 - x^2 = 0 \implies x^2 = 17 \implies x_1 = -\sqrt{17}, \quad x_2 = \sqrt{17}$$
  2. Obliczamy sumę rozwiązań:
     $$x_1 + x_2 = -\sqrt{17} + \sqrt{17} = 0$$
  3. Analizujemy wynik: Liczba \(0\) jest liczbą całkowitą, a co za tym idzie – również liczbą wymierną (można ją zapisać w postaci ułamka \(\frac{0}{1}\)). Nie jest liczbą dodatnią, ujemną ani niewymierną.
• Podsumowanie i wniosek: Prawidłową odpowiedzią jest C.

Pełne rozwiązanie krok po kroku:

• Intuicja („Dlaczego tak?”): Równanie jest podane od razu w postaci iloczynowej. Stała \(3\) przed nawiasem nie wpływa na miejsca zerowe (dzielimy przez nią obustronnie), a zerowanie równania następuje wtedy, gdy któryś z nawiasów przyjmuje wartość \(0\).
• Krok po kroku z komentarzem:
  1. Dzielimy przez \(3\):
     $$(x - 3)(x + 5) = 0$$
  2. Przyrównujemy nawiasy do zera:
     • \(x - 3 = 0 \implies x = 3\)
     • \(x + 5 = 0 \implies x = -5\)
• Podsumowanie i wniosek: Rozwiązaniami są liczby \(3\) oraz \(-5\), co odpowiada odpowiedzi C.