1.11. Funkcja kwadratowa – zastosowania (2)

Przykład 1

Prostokątny trawnik ma powierzchnię $ 209\text{ m}^2 $. Oblicz wymiary tego trawnika w przypadku, gdy różnią się one o $ 8\text{ m} $.

Założenia / Dziedzina:

$$ x > 0 $$

(gdzie $ x $ to długość krótszego boku, która musi być dodatnia, bo długość nie może być ujemna)

Dane:

Pole powierzchni trawnika: $ P = 209\text{ m}^2 $
Różnica między bokami: $ 8\text{ m} $

Szukane:

Wymiary trawnika (długości obu boków)

Wzór ogólny:

P = a \cdot b

\Delta = b^2 - 4ac

x_{1,2} = \frac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}

Podstawienie i obliczenia:

Oznaczmy długość krótszego boku trawnika przez $ x $. Wtedy dłuższy bok wynosi $ x + 8 $.

Układamy równanie wynikające ze wzoru na pole prostokąta:

$$ x(x + 8) = 209 $$

Wymnażamy nawias i przenosimy $ 209 $ na lewą stronę, aby powstała postać ogólna równania kwadratowego:

$$ x^2 + 8x - 209 = 0 $$

Teraz liczymy wyróżnik $ \Delta $ (delta):

\Delta = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209)

\Delta = 64 + 836 = 900

Pierwiastek z delty wynosi:

\sqrt{\Delta} = \sqrt{900} = 30

Teraz wyznaczamy dwa możliwe rozwiązania $ x $:

x_1 = \frac{-8 - 30}{2}

x_1 = \frac{-38}{2} = -19

x_2 = \frac{-8 + 30}{2}

x_2 = \frac{22}{2} = 11

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy znaleźć wymiary prostokątnego trawnika, znając jego pole i różnicę między bokami. Tworzymy równanie kwadratowe, żeby wyznaczyć długość krótszego boku.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Mnożymy krótszy bok przez dłuższy ($ x $ przez $ x+8 $), co daje pole $ 209 $.
- Przekształcamy równanie do postaci kwadratowej $ x^2 + 8x - 209 = 0 $.
- Liczymy deltę ($ \Delta $), która wynosi $ 900 $, oraz jej pierwiastek ($ 30 $).
- Otrzymujemy dwa wyniki dla $ x $: $ -19 $ oraz $ 11 $. Ponieważ długość boku nie może być ujemna, odrzucamy $ -19 $.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Wyszło nam, że $ x = 11 $. Krótszy bok ma $ 11\text{ m} $, a dłuższy $ 11 + 8 = 19\text{ m} $.
Odpowiedź: Trawik ma wymiary $ 11\text{ m} \times 19\text{ m} $.

Ćwiczenie 1

Prostokątny trawnik ma powierzchnię $ 216\text{ m}^2 $. Oblicz wymiary tego trawnika w przypadku, gdy różnią się one o: a) $ 6\text{ m} $, b) $ 15\text{ m} $.

Założenia / Dziedzina:

$$ x > 0 $$

(gdzie $ x $ to długość krótszego boku trawnika)

Rozwiązanie podpunktu a):

Dane:

Pole: $ P = 216\text{ m}^2 $
Różnica boków: $ 6\text{ m} $

Szukane: Wymiary trawnika

Wzór ogólny:

x(x + \text{różnica}) = P

\Delta = b^2 - 4ac

Podstawienie i obliczenia:

$$ x(x + 6) = 216 $$

$$ x^2 + 6x - 216 = 0 $$

\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216)

\Delta = 36 + 864 = 900

\sqrt{\Delta} = 30

x_1 = \frac{-6 - 30}{2} = -18 < 0 \quad (\text{odrzucamy, bo bok nie może być ujemny})

x_2 = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy wyznaczyć wymiary trawnika o polu $ 216\text{ m}^2 $, którego boki różnią się o $ 6\text{ m} $, postępując analogicznie do Przykładu 1.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Układamy równanie $ x(x+6) = 216 $.
- Przekształcamy do postaci ogólnej kwadratowej: $ x^2 + 6x - 216 = 0 $.
- Obliczamy deltę ($ \Delta = 900 $) i jej pierwiastek ($ 30 $).
- Otrzymujemy pierwiastki $ -18 $ oraz $ 12 $, z czego ujemny odrzucamy.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Krótszy bok wynosi $ 12\text{ m} $, a dłuższy $ 12 + 6 = 18\text{ m} $.
Odpowiedź: Wymiary trawnika w podpunkcie a) wynoszą $ 12\text{ m} \times 18\text{ m} $.

Rozwiązanie podpunktu b):

Dane:

Pole: $ P = 216\text{ m}^2 $
Różnica boków: $ 15\text{ m} $

Szukane: Wymiary trawnika

Wzór ogólny:

x(x + \text{różnica}) = P

\Delta = b^2 - 4ac

Podstawienie i obliczenia:

$$ x(x + 15) = 216 $$

$$ x^2 + 15x - 216 = 0 $$

\Delta = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216)

\Delta = 225 + 864 = 1089

\sqrt{\Delta} = 33

x_1 = \frac{-15 - 33}{2} = \frac{-48}{2} = -24 < 0 \quad (\text{odrzucamy, bo bok ujemny})

x_2 = \frac{-15 + 33}{2} = \frac{18}{2} = 9

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Obliczyć wymiary trawnika o polu $ 216\text{ m}^2 $ i różnicy boków wynoszącej $ 15\text{ m} $.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Układamy równanie $ x(x+15) = 216 $.
- Zapisujemy postać ogólną: $ x^2 + 15x - 216 = 0 $.
- Liczymy deltę: $ \Delta = 225 + 864 = 1089 $, skąd $ \sqrt{\Delta} = 33 $.
- Wyznaczamy rozwiązania: $ x_1 = -24 $ (odrzucamy) oraz $ x_2 = 9 $.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Krótszy bok to $ 9\text{ m} $, a dłuższy to $ 9 + 15 = 24\text{ m} $.
Odpowiedź: Wymiary trawnika w podpunkcie b) wynoszą $ 9\text{ m} \times 24\text{ m} $.

Przykład 2

Wokół prostokątnego trawnika o wymiarach $ 12\text{ m} \times 6\text{ m} $ ma zostać ułożony pas kostki brukowej o szerokości $ x\text{ m} $ oraz powierzchni $ 63\text{ m}^2 $ (rysunek obok). Oblicz $ x $.

Założenia / Dziedzina:

$$ x > 0 $$

(szerokość pasa kostki musi być liczbą dodatnią)

Dane:

Wymiary wewnętrznego trawnika: $ 12\text{ m} \times 6\text{ m} $
Powierzchnia pasa z kostki brukowej: $ P_{\text{kostki}} = 63\text{ m}^2 $
Szerokość pasa kostki: $ x\text{ m} $

Szukane: Szerokość pasa $ x $

Wzór ogólny:

P_{\text{kostki}} = P_{\text{całkowite}} - P_{\text{trawnika}}

\Delta = b^2 - 4ac

x_{1,2} = \frac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}

Podstawienie i obliczenia:

Powierzchnia pokryta kostką jest równa różnicy pól większego i mniejszego prostokąta:

(12 + 2x)(6 + 2x) - 12 \cdot 6 = 72 + 24x + 12x + 4x^2 - 72 = 4x^2 + 36x

Ponieważ powierzchnia ta wynosi $ 63\text{ m}^2 $, otrzymujemy równanie:

$$ 4x^2 + 36x = 63 $$

Przenosimy $ 63 $ na lewą stronę, aby uzyskać postać ogólną:

$$ 4x^2 + 36x - 63 = 0 $$

Obliczamy wyróżnik $ \Delta $:

\Delta = 36^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-63)

\Delta = 1296 + 1008 = 2304

Pierwiastek z delty wynosi:

\sqrt{\Delta} = \sqrt{2304} = 48

Wyznaczamy pierwiastki równania ($ a = 4, b = 36, c = -63 $):

x_1 = \frac{-36 - 48}{2 \cdot 4}

x_1 = \frac{-84}{8} = -10,5 < 0

x_2 = \frac{-36 + 48}{2 \cdot 4}

x_2 = \frac{12}{8} = 1,5

Pierwsze rozwiązanie odrzucamy, ponieważ nie spełnia warunków zadania ($ x > 0 $). Zatem szerokość pasa jest równa $ 1,5\text{ m} $.

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy obliczyć szerokość $ x $ pasa kostki brukowej ułożonego wokół trawnika, układając równanie na podstawie różnicy pól większego i mniejszego prostokąta.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Ustalamy wymiary zewnętrznego prostokąta z uwzględnieniem pasa z dwóch stron: $ (12 + 2x) $ oraz $ (6 + 2x) $.
- Odejmujemy pole samego trawnika ($ 12 \cdot 6 $) od pola całości, co daje wyrażenie $ 4x^2 + 36x $.
- Przyrównujemy ten wynik do podanego pola kostki ($ 63 $) i przekształcamy do postaci kwadratowej: $ 4x^2 + 36x - 63 = 0 $.
- Liczymy deltę ($ \Delta = 2304 $) i jej pierwiastek ($ \sqrt{\Delta} = 48 $).
- Otrzymujemy dwa wyniki: $ x_1 = -10,5 $ (odrzucamy, bo szerokość nie może być ujemna) oraz $ x_2 = 1,5 $.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Wyszło nam, że $ x = 1,5 $.
Odpowiedź: Szerokość pasa kostki brukowej jest równa $ 1,5\text{ m} $.

Ćwiczenie 2

Wokół basenu o wymiarach $ 4\text{ m} \times 8\text{ m} $ wyłożono kafelkami pas o szerokości $ x\text{ m} $ oraz powierzchni $ 45\text{ m}^2 $ (rysunek obok). Jaka jest szerokość tego pasa?

Założenia / Dziedzina:

$$ x > 0 $$

(szerokość pasa kafelków musi być liczbą dodatnią)

Dane:

Wymiary basenu: $ 4\text{ m} \times 8\text{ m} $
Powierzchnia pasa z kafelków: $ P_{\text{kafelków}} = 45\text{ m}^2 $
Szerokość pasa kafelków: $ x\text{ m} $

Szukane: Szerokość pasa $ x $

Wzór ogólny:

P_{\text{kafelków}} = P_{\text{całkowite}} - P_{\text{basenu}}

\Delta = b^2 - 4ac

x_{1,2} = \frac{-b \mp \sqrt{\Delta}}{2a}

Podstawienie i obliczenia:

Powierzchnia pasów kafelków jest równa różnicy pól większego prostokąta (basen razem z kafelkami) i mniejszego prostokąta (sam basen):

(8 + 2x)(4 + 2x) - 8 \cdot 4 = 32 + 16x + 8x + 4x^2 - 32 = 4x^2 + 24x

Przyrównujemy to do podanej powierzchni $ 45\text{ m}^2 $:

$$ 4x^2 + 24x = 45 $$

Przenosimy $ 45 $ na lewą stronę, tworząc postać ogólną równania kwadratowego:

$$ 4x^2 + 24x - 45 = 0 $$

Liczymy wyróżnik $ \Delta $:

\Delta = 24^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45)

\Delta = 576 + 720 = 1296

Pierwiastek z delty wynosi:

\sqrt{\Delta} = \sqrt{1296} = 36

Wyznaczamy rozwiązania $ x $ (gdzie $ a = 4, b = 24, c = -45 $):

x_1 = \frac{-24 - 36}{2 \cdot 4}

x_1 = \frac{-60}{8} = -7,5 < 0 \quad (\text{odrzucamy, bo szerokość nie może być ujemna})

x_2 = \frac{-24 + 36}{2 \cdot 4}

x_2 = \frac{12}{8} = 1,5

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy znaleźć szerokość pasa kafelków ułożonych wokół basenu, korzystając z informacji o polu całkowitym kafelków.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Wyznaczamy całkowite wymiary zewnętrznego prostokąta: $ (8+2x) $ oraz $ (4+2x) $.
- Obliczamy pole samej obwódki jako różnicę pola całego obszaru i pola basenu ($ 8 \cdot 4 = 32 $).
- Otrzymujemy równanie $ 4x^2 + 24x = 45 $, które sprowadzamy do postaci $ 4x^2 + 24x - 45 = 0 $.
- Liczymy deltę ($ \Delta = 1296 $) oraz jej pierwiastek ($ 36 $).
- Wyznaczamy dwa wyniki: $ -7,5 $ (odrzucamy z uwagi na założenie $ x > 0 $) oraz $ 1,5 $.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Otrzymaliśmy wynik $ x = 1,5 $.
Odpowiedź: Szerokość tego pasa wynosi $ 1,5\text{ m} $.

Przykład 3

Firma produkująca zabawki oszacowała roczną wielkość sprzedaży lalek na $ s $ sztuk w zależności od ceny $ x\text{ zł} $ za sztukę (tabela poniżej). Okazało się, że jest to zależność liniowa $ s(x) = -40x + 3600 $.

Cena $ x $ w zł	40	50	60	70	80	90
Liczba lalek $ s $	2000	1600	1200	800	400	0

Koszt wyprodukowania jednej lalki wynosi $ 20\text{ zł} $. Ustal taką cenę za jedną lalkę, aby roczny zysk firmy był największy. Jaka będzie wtedy wielkość sprzedaży i jaki zysk?

Założenia / Dziedzina:

x \in [20; 90]

(cena lalki musi wynosić co najmniej $ 20\text{ zł} $, żeby pokryć koszt produkcji, oraz maksymalnie $ 90\text{ zł} $, bo przy tej cenie sprzedaż spada do zera)

Dane:

Funkcja liczby sprzedanych lalek: $ s(x) = -40x + 3600 $
Koszt wyprodukowania 1 lalki: $ 20\text{ zł} $
Zysk na 1 lalce przy cenie $ x $: $ (x - 20)\text{ zł} $

Szukane:

Cena $ x $, przy której zysk jest największy
Wielkość sprzedaży $ s(x) $ przy tej cenie
Maksymalny roczny zysk $ z_{\text{max}} $

Wzór ogólny:

z(x) = s(x) \cdot (x - 20)

x_w = -\frac{b}{2a}

(współrzędna $ x $ wierzchołka paraboli $ f(x) = ax^2 + bx + c $, wyznaczająca wartość maksymalną dla $ a < 0 $)

Podstawienie i obliczenia:

Zysk ze sprzedaży jednej lalki, gdy kosztuje ona $ x\text{ zł} $, jest równy $ (x - 20)\text{ zł} $ (przyjmujemy, że $ x \geqslant 20 $). Określamy funkcję $ z $ opisującą roczny zysk ze sprzedaży $ s $ lalek dla ceny $ x\text{ zł} $ za lalkę:

z(x) = s(x) \cdot (x - 20) = (-40x + 3600)(x - 20) =

$$ = -40x^2 + 800x + 3600x - 72000 = $$

= -40x^2 + 4400x - 72000, \text{ gdzie } x \in [20; 90]

Funkcja $ z $ największą wartość przyjmuje w wierzchołku odpowiedniej paraboli:

x_w = -\frac{4400}{-80} = 55

Zatem zysk będzie największy dla ceny $ x = 55\text{ zł} $.

Wielkość sprzedaży będzie wówczas równa:

s(55) = -40 \cdot 55 + 3600 = -2200 + 3600 = 1400

a roczny zysk będzie wynosił:

z_{\text{max}} = z(55) = 1400 \cdot (55 - 20) = 1400 \cdot 35 = 49000\text{ [zł]}

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy wyznaczyć optymalną cenę lalki, która przyniesie firmie najwyższy roczny zysk, wyliczając zysk jako iloczyn liczby sprzedanych lalek i marży na jednej sztuce.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Tworzymy funkcję zysku $ z(x) = (-40x + 3600)(x - 20) $ i wymnażamy nawiasy, uzyskując postać $ z(x) = -40x^2 + 4400x - 72000 $.
- Ponieważ współczynnik przy $ x^2 $ jest ujemny (ramiona paraboli skierowane w dół), najwyższy zysk znajduje się w wierzchołku paraboli $ x_w $.
- Liczymy wierzchołek: $ x_w = -\frac{4400}{2 \cdot (-40)} = 55\text{ zł} $.
- Podstawiamy cenę $ 55\text{ zł} $ do wzoru na sprzedaż $ s(55) = 1400\text{ sztuk} $ oraz do wzoru na zysk $ z(55) = 1400 \cdot 35 = 49000\text{ zł} $.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Największy zysk uzyskamy przy cenie $ 55\text{ zł} $ za lalkę.
Odpowiedź: Cena powinna wynosić $ 55\text{ zł} $. Wielkość sprzedaży wyniesie wtedy $ 1400\text{ sztuk} $, a zysk wyniesie $ 49000\text{ zł} $.

Ćwiczenie 3

Koszt wyprodukowania jednego pluszowego misia wynosi $ 10\text{ zł} $. Dla ceny $ 15\text{ zł} $ za misia wielkość sprzedaży wynosi $ 1000\text{ sztuk} $ rocznie. Każdorazowe podniesienie ceny o $ 1\text{ zł} $ powoduje spadek sprzedaży o $ 50\text{ sztuk} $ w ciągu roku.

a) Wyznacz wzór funkcji kwadratowej opisującej roczny zysk w zależności od ceny $ x\text{ zł} $ za sztukę.

b) Ustal taką cenę za jednego misia, aby roczny zysk firmy był największy. Jaka będzie wtedy wielkość sprzedaży i jaki zysk?

Założenia / Dziedzina:

x \in [10; 35]

(cena musi wynosić minimum $ 10\text{ zł} $, żeby nie sprzedawać ze stratą, oraz maksymalnie $ 35\text{ zł} $, gdyż podniesienie ceny o $ 20\text{ zł} $ zmniejszy sprzedaż o $ 20 \cdot 50 = 1000\text{ sztuk} $, zredukowawszy ją do zera)

Rozwiązanie podpunktu a):

Dane:

Koszt wyprodukowania 1 misia: $ 10\text{ zł} $
Cena początkowa: $ 15\text{ zł} $ $\rightarrow$ sprzedaż: $ 1000\text{ sztuk} $
Zmiana ceny: podniesienie o $ 1\text{ zł} $ powoduje spadek sprzedaży o $ 50\text{ sztuk} $

Szukane: Wzór funkcji rocznego zysku $ z(x) $ w zależności od ceny $ x $

Wzór ogólny:

s(x) = \text{sprzedaż początkowa} - \text{spadek} \cdot (x - \text{cena początkowa})

z(x) = s(x) \cdot (x - \text{koszt})

Podstawienie i obliczenia:

Najpierw wyznaczamy wzór na wielkość sprzedaży $ s(x) $ w zależności od ceny $ x $:

$$ s(x) = 1000 - 50(x - 15) $$

$$ s(x) = 1000 - 50x + 750 $$

$$ s(x) = -50x + 1750 $$

Zysk na jednej sztuce przy cenie $ x $ wynosi $ (x - 10)\text{ zł} $. Tworzymy wzór funkcji zysku $ z(x) $:

z(x) = s(x) \cdot (x - 10)

$$ z(x) = (-50x + 1750)(x - 10) $$

$$ z(x) = -50x^2 + 500x + 1750x - 17500 $$

$$ z(x) = -50x^2 + 2250x - 17500 $$

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy ułożyć wzór funkcji kwadratowej opisującej roczny zysk ze sprzedaży misiów w zależności od ceny $ x $.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Tworzymy wzór na liczbę sprzedanych misiów $ s(x) $: od $ 1000 $ odejmujemy po $ 50 $ sztuk za każdą złotówkę powyżej $ 15\text{ zł} $, co daje $ s(x) = -50x + 1750 $.
- Mnożymy liczbę sprzedanych misiów $ s(x) $ przez zysk na jednym misiu $ (x - 10) $.
- Wymnażamy nawiasy: $ (-50x + 1750)(x - 10) = -50x^2 + 2250x - 17500 $.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Uzyskaliśmy wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.
Odpowiedź: Wzór funkcji zysku to $ z(x) = -50x^2 + 2250x - 17500 $.

Rozwiązanie podpunktu b):

Dane:

Funkcja zysku: $ z(x) = -50x^2 + 2250x - 17500 $
Funkcja sprzedaży: $ s(x) = -50x + 1750 $

Szukane:

Optymalna cena $ x $ gwarantująca największy zysk
Wielkość sprzedaży $ s(x) $ przy tej cenie
Maksymalny zysk $ z_{\text{max}} $

Wzór ogólny:

x_w = -\frac{b}{2a}

z_{\text{max}} = z(x_w)

Podstawienie i obliczenia:

Funkcja $ z(x) $ ma ramiona skierowane w dół ($ a = -50 < 0 $), więc największy zysk osiągany jest w wierzchołku paraboli:

x_w = -\frac{2250}{2 \cdot (-50)}

x_w = -\frac{2250}{-100} = 22,5

Optymalna cena wynosi $ 22,50\text{ zł} $. Obliczamy wielkość sprzedaży dla $ x = 22,5 $:

s(22,5) = -50 \cdot 22,5 + 1750

$$ s(22,5) = -1125 + 1750 = 625 $$

Obliczamy maksymalny roczny zysk:

z(22,5) = -50 \cdot (22,5)^2 + 2250 \cdot 22,5 - 17500

z(22,5) = -50 \cdot 506,25 + 50625 - 17500

z(22,5) = -25312,5 + 50625 - 17500 = 7812,5\text{ [zł]}

(lub krócej: $ 625 \cdot (22,5 - 10) = 625 \cdot 12,5 = 7812,5\text{ zł} $)

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Wyznaczyć cenę misia, przy której zysk będzie najwyższy, oraz obliczyć wielkość sprzedaży i wysokość tego zysku.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Obliczamy współrzędną $ x $ wierzchołka paraboli $ x_w = -\frac{b}{2a} $, podstawiając $ a = -50 $ i $ b = 2250 $, co daje $ 22,5\text{ zł} $.
- Podstawiamy wyznaczoną cenę $ 22,5\text{ zł} $ do wzoru na liczbę sprzedanych sztuk: $ s(22,5) = 625\text{ sztuk} $.
- Mnożymy liczbę sprzedanych sztuk przez marżę ($ 22,50 - 10 = 12,50 $), otrzymując zysk $ 7812,50\text{ zł} $.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Firma osiągnie maksymalny zysk, ustalając cenę misia na $ 22,50\text{ zł} $.
Odpowiedź: Optymalna cena za misia to $ 22,50\text{ zł} $. Wielkość sprzedaży wyniesie wtedy $ 625\text{ sztuk} $, a maksymalny roczny zysk wyniesie $ 7812,50\text{ zł} $.

Baza zadań utrwalających z Testów Nowej Ery (Grupa A)

Zadanie 1

Prostokąt o wymiarach $ (2x+5)\times(30-3x) $ ma pole największe z możliwych. Oblicz obwód tego prostokąta.

Założenia / Dziedzina:

2x + 5 > 0 \quad \text{oraz} \quad 30 - 3x > 0

x > -2,5 \quad \text{oraz} \quad x < 10

x \in (-2,5; 10)

(długości boków prostokąta muszą być wyrażeniami dodatnimi)

Dane:

Wymiary prostokąta: $ a = 2x + 5 $, $ b = 30 - 3x $
Warunek: pole powierzchni jest maksymalne

Szukane: Obwód prostokąta

Wzory ogólne:

$$ P(x) = (2x + 5)(30 - 3x) $$

x_w = -\frac{b}{2a}

$$ Obw = 2a + 2b $$

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy wyznaczyć obwód prostokąta o danych bokach zależnych od $ x $, dla którego pole powierzchni przyjmuje wartość największą (wierzchołek paraboli o ramionach skierowanych w dół).
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Tworzymy funkcję pola $ P(x) $, mnożąc przez siebie oba boki: $$$ P(x) = (2x + 5)(30 - 3x) $$$
- Wymnażamy nawiasy i porządkujemy wyrażenie do postaci ogólnej trójmianu kwadratowego: $$$ P(x) = 60x - 6x^2 + 150 - 15x $$$ $$$ P(x) = -6x^2 + 45x + 150 $$$
- Współczynniki funkcji to $ a = -6 $, $ b = 45 $, $ c = 150 $. Ponieważ $ a < 0 $, wykres jest parabolą skierowaną w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku. Liczymy współrzędną $ x_w $: $x_w = -\frac{45}{2 \cdot (-6)}$ $x_w = \frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3,75$
- Podstawiamy $ x = 3,75 $ do wzorów na boki prostokąta: $a = 2 \cdot 3,75 + 5 = 7,5 + 5 = 12,5$ $b = 30 - 3 \cdot 3,75 = 30 - 11,25 = 18,75$
- Obliczamy obwód prostokąta: $Obw = 2 \cdot 12,5 + 2 \cdot 18,75$ $$$ Obw = 25 + 37,5 = 62,5 $$$
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Wyszło nam, że szukany obwód prostokąta wynosi $ 62,5 $.
Odpowiedź: Obwód tego prostokąta wynosi $ 62,5 $.

Zadanie 4

Suma obwodów trójkąta równobocznego i sześciokąta foremnego jest równa $ 6\text{ m} $, a suma pól tych wielokątów jest najmniejsza z możliwych. Oblicz długości boków obu wielokątów.

Założenia / Dziedzina:

x > 0 \quad \text{oraz} \quad y > 0

(gdzie $ x $ to bok trójkąta, a $ y $ to bok sześciokąta, a długości boków muszą być dodatnie)

Dane:

Suma obwodów: $ 3x + 6y = 6 $
Warunek: suma pól $ P = P_{\text{trójkąta}} + P_{\text{sześciokąta}} $ jest najmniejsza

Szukane: Długości boków $ x $ oraz $ y $

Wzory ogólne:

P_1(x) = \frac{x^2\sqrt{3}}{4}

P_2(y) = 6 \cdot \frac{y^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}y^2}{2}

x_w = -\frac{b}{2a}

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy znaleźć takie długości boków trójkąta równobocznego i sześciokąta foremnego, aby przy danej sumie obwodów ich łączne pole było najmniejsze.
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Z równania na sumę obwodów wyznaczamy $ x $ w zależności od $ y $: $$$ 3x + 6y = 6 $$$ $$$ 3x = 6 - 6y $$$ $$$ x = 2 - 2y $$$
- Zapisujemy łączną sumę pól obu wielokątów jako funkcję zmiennej $ y $: $P(y) = \frac{(2 - 2y)^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}y^2}{2}$
- Przekształcamy wyrażenie: $P(y) = \frac{(4 - 8y + 4y^2)\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}y^2}{2}$ $P(y) = (1 - 2y + y^2)\sqrt{3} + 1,5\sqrt{3}y^2$ $P(y) = \sqrt{3} - 2\sqrt{3}y + \sqrt{3}y^2 + 1,5\sqrt{3}y^2$ $P(y) = 2,5\sqrt{3}y^2 - 2\sqrt{3}y + \sqrt{3}$
- Współczynniki funkcji kwadratowej to $ a = 2,5\sqrt{3} $, $ b = -2\sqrt{3} $, $ c = \sqrt{3} $. Ponieważ $ a > 0 $, parabola ma ramiona skierowane w górę, więc najmniejsza wartość znajduje się w wierzchołku: $y_w = -\frac{-2\sqrt{3}}{2 \cdot 2,5\sqrt{3}}$ $y_w = \frac{2\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = \frac{2}{5} = 0,4$
- Obliczamy długość boku trójkąta $ x $: $x = 2 - 2 \cdot 0,4$ $$$ x = 2 - 0,8 = 1,2 $$$
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Otrzymaliśmy długość boku trójkąta $ x = 1,2 $ oraz boku sześciokąta $ y = 0,4 $.
Odpowiedź: Długość boku trójkąta równobocznego wynosi $ 1,2\text{ m} $, a boku sześciokąta foremnego $ 0,4\text{ m} $.

Zadanie 5

Bok kwadratu ma długość 10 (patrz rysunek). Dla jakich wartości $ x $ pole zacieniowanego obszaru jest większe niż 64% pola kwadratu?

Założenia / Dziedzina:

$$ 0 < x < 5 $$

(szerokość wyciętych fragmentów musi być dodatnia, a ponieważ bok kwadratu wynosi 10, to $ 2x < 10 \implies x < 5 $)

Dane:

Bok kwadratu: $ a = 10 $
Pole całkowite kwadratu: $ P_{\text{kwadratu}} = 10^2 = 100 $
Warunek: pole zacieniowane $ > 64\% $ pola kwadratu, czyli $ 0,64 \cdot 100 = 64 $

Szukane: Przedział wartości $ x $

Wzory ogólne:

P_{\text{trójkąta}} = \frac{1}{2}x^2

P_{\text{zacieniowane}} = P_{\text{kwadratu}} - 4 \cdot P_{\text{trójkąta}}

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy wyznaczyć wartości $ x $, dla których pole zacieniowanej figury (powstałej przez odcięcie czterech narożnych trójkątów z kwadratu) przekracza $ 64\% $ pola całego kwadratu.
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Pole jednego narożnego trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnych $ x $ wynosi $ \frac{1}{2}x^2 $.
- Pole czterech takich trójkątów wynosi: $4 \cdot \frac{1}{2}x^2 = 2x^2$
- Pole zacieniowanego obszaru to pole kwadratu pomniejszone o pole czterech narożników: $P_{\text{zacieniowane}} = 100 - 2x^2$
- Układamy nierówność zgodnie z warunkiem zadania (pole większe niż $ 64 $): $$$ 100 - 2x^2 > 64 $$$
- Przekształcamy nierówność, przenosząc wyrażenia na jedną stronę: $$$ -2x^2 + 100 - 64 > 0 $$$ $$$ -2x^2 + 36 > 0 $$$
- Dzielimy obie strony przez $ -2 $ (pamiętając o zmianie znaku nierówności): $$$ x^2 - 18 < 0 $$$
- Rozwiązujemy nierówność kwadratową, wyznaczając miejsca zerowe: $$$ x^2 = 18 $$$ $x = -\sqrt{18} = -3\sqrt{2} \quad \text{lub} \quad x = 3\sqrt{2}$ $x \in (-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2})$
- Uwzględniając dziedzinę zadania ($ 0 < x < 5 $, gdzie $ 3\sqrt{2} \approx 4,24 $), otrzymujemy ostateczny przedział.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Wyszło nam, że $ x $ musi należeć do przedziału $ (0; 3\sqrt{2}) $.
Odpowiedź: Pole zacieniowanego obszaru jest większe niż $ 64\% $ pola kwadratu dla $ x \in (0; 3\sqrt{2}) $.

Zadanie 7

Popyt $ P $ na pewien rodzaj kawy można opisać wzorem $ P = 350 - 7c $, gdzie $ c \in \langle0; 45\rangle $ oznacza cenę jednej paczki kawy. Koszt produkcji i dystrybucji jednej paczki kawy wynosi $ 12,50\text{ zł} $. Dochód ze sprzedaży jest iloczynem popytu na towar oraz ceny produktu pomniejszonej o koszt produkcji i dystrybucji. Wyznacz cenę $ c $, dla której dochód ze sprzedaży tej kawy będzie największy.

Założenia / Dziedzina:

c \in \langle 12,50; 45 \rangle

(cena musi pokryć koszt produkcji $ 12,50\text{ zł} $ oraz mieścić się w podanym przedziale popytu)

Dane:

Wzór popytu: $ P(c) = 350 - 7c $
Koszt jednostkowy: $ 12,50\text{ zł} $
Warunek: dochód ze sprzedaży ma być największy

Szukane: Cena $ c $, dla której dochód jest maksymalny

Wzory ogólne:

D(c) = P(c) \cdot (c - \text{koszt})

c_w = -\frac{b}{2a}

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy znaleźć optymalną cenę paczki kawy $ c $, przy której dochód firmy (iloczyn liczby sprzedanych paczek i zysku jednostkowego) osiągnie wartość największą.
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Układamy funkcję dochodu $ D(c) $, mnożąc popyt przez marżę na jednej sztuce: $$$ D(c) = (350 - 7c)(c - 12,5) $$$
- Wymnażamy nawiasy, aby uzyskać postać ogólną funkcji kwadratowej: $D(c) = 350c - 350 \cdot 12,5 - 7c^2 + 7 \cdot 12,5c$ $$$ D(c) = 350c - 4375 - 7c^2 + 87,5c $$$ $$$ D(c) = -7c^2 + 437,5c - 4375 $$$
- Współczynniki funkcji to $ a = -7 $, $ b = 437,5 $, $ c = -4375 $. Ponieważ $ a < 0 $, największa wartość występuje w wierzchołku paraboli: $c_w = -\frac{437,5}{2 \cdot (-7)}$ $c_w = -\frac{437,5}{-14}$ $$$ c_w = 31,25 $$$
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Otrzymaliśmy optymalną cenę równą $ 31,25\text{ zł} $, która mieści się w dopuszczalnej dziedzinie.
Odpowiedź: Dochód ze sprzedaży tej kawy będzie największy dla ceny $ c = 31,25\text{ zł} $.

Zadanie 8

Właściciel sklepu kupuje w hurtowni soki po $ 1,60\text{ zł} $ za litr i sprzedaje je po $ 3,20\text{ zł} $. Średnio w miesiącu sklep sprzedaje $ 600\text{ litrów} $ soków. Właściciel oszacował, że po każdorazowej obniżce ceny litra soku o $ 10\text{ gr} $ sprzedaż wzrośnie o $ 100\text{ litrów} $ miesięcznie. Przy jakiej cenie za litr soku zysk sklepu będzie największy?

Założenia / Dziedzina:

x \ge 0 \quad \text{oraz} \quad 3,20 - 0,10x \ge 1,60

(gdzie $ x $ to liczba obniżek o $ 10\text{ gr} $, a cena nie może spaść poniżej kosztu zakupu $ 1,60\text{ zł} $)

Dane:

Cena początkowa: $ 3,20\text{ zł} $
Koszt zakupu: $ 1,60\text{ zł} $
Sprzedaż początkowa: $ 600\text{ litrów} $
Zmiana: każda obniżka o $ 0,10\text{ zł} $ zwiększa sprzedaż o $ 100\text{ litrów} $

Szukane: Cena za litr soku gwarantująca największy zysk

Wzory ogólne:

Z(x) = (\text{nowa sprzedaż}) \cdot (\text{nowy zysk z 1 litra})

x_w = -\frac{b}{2a}

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy ustalić taką cenę sprzedaży soku uwzględniającą zmiany liczby obniżek, aby miesięczny zysk sklepu był maksymalny.
JAK TO ROBIMY KROK PO KROKU:
- Oznaczmy przez $ x $ liczbę obniżek o $ 0,10\text{ zł} $.
- Nowa cena za litr soku wynosi: $$$ 3,20 - 0,1x $$$
- Nowa wielkość sprzedaży wynosi: $$$ 600 + 100x $$$
- Zysk ze sprzedaży jednego litra soku wynosi nowa cena minus koszt zakupu: $$$ (3,20 - 0,1x) - 1,60 = 1,60 - 0,1x $$$
- Tworzymy funkcję miesięcznego zysku $ Z(x) $: $$$ Z(x) = (600 + 100x)(1,60 - 0,1x) $$$
- Wymnażamy nawiasy: $$$ Z(x) = 960 - 60x + 160x - 10x^2 $$$ $$$ Z(x) = -10x^2 + 100x + 960 $$$
- Współczynniki to $ a = -10 $, $ b = 100 $, $ c = 960 $. Liczymy wierzchołek paraboli ($ a < 0 $): $x_w = -\frac{100}{2 \cdot (-10)}$ $x_w = \frac{-100}{-20} = 5$
- Obliczamy optymalną cenę soku po 5 obniżkach o $ 0,10\text{ zł} $: $\text{Cena} = 3,20 - 5 \cdot 0,10 = 3,20 - 0,50 = 2,70$
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Optymalna cena za litr soku wynosi $ 2,70\text{ zł} $.
Odpowiedź: Zysk sklepu będzie największy przy cenie $ 2,70\text{ zł} $ za litr soku.

Zadanie 13

Suma długości przekątnych rombu jest równa 10. Który z rombów spełniających to założenie ma największe pole? Wyznacz obwód tego rombu i podaj długość jego przekątnych.

Założenia / Dziedzina:

d_1 > 0 \quad \text{oraz} \quad d_2 > 0

(długości przekątnych rombu muszą być dodatnie)

Dane:

Suma przekątnych: $ d_1 + d_2 = 10 $
Warunek: pole rombu ma być największe

Szukane:

Długości przekątnych $ d_1 $ i $ d_2 $
Obwód rombu

Wzory ogólne:

P = \frac{1}{2}d_1 d_2

d_1 + d_2 = 10 \implies d_2 = 10 - d_1

a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}

$$ Obw = 4a $$

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy wyznaczyć długości przekątnych oraz obwód takiego rombu, którego suma przekątnych wynosi 10, a pole powierzchni osiąga maksimum.
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Zależność między przekątnymi: $ d_2 = 10 - d_1 $.
- Zapisujemy wzór na pole rombu jako funkcję zmiennej $ d_1 $: $P(d_1) = \frac{1}{2}d_1(10 - d_1)$ $$$ P(d_1) = 5d_1 - 0,5d_1^2 $$$ $$$ P(d_1) = -0,5d_1^2 + 5d_1 $$$
- Współczynniki to $ a = -0,5 $, $ b = 5 $. Szukamy wierzchołka paraboli ($ a < 0 $): $d_{1w} = -\frac{5}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{-5}{-1} = 5$
- Obliczamy drugą przekątną: $$$ d_2 = 10 - 5 = 5 $$$
- Przekątne rombu są równe i wynoszą po $ 5 $. Obliczamy bok rombu $ a $, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla połówek przekątnych: $a = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2}$ $a = \sqrt{6,25 + 6,25} = \sqrt{12,5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$
- Obliczamy obwód rombu: $Obw = 4 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Przekątne wynoszą $ 5 $ i $ 5 $, a obwód wynosi $ 10\sqrt{2} $.
Odpowiedź: Długości przekątnych rombu wynoszą $ 5 $ i $ 5 $, a jego obwód jest równy $ 10\sqrt{2} $.

Zadanie 14

Siatką o długości $ 120\text{ m} $ bieżących należy ogrodzić dwa place w kształcie prostokątów, z których jeden jest podobny do drugiego w skali 2. Jakie powinny być wymiary tych placów, aby pole powierzchni ograniczonej siatką było największe?

Założenia / Dziedzina:

x > 0 \quad \text{oraz} \quad y > 0

(wymiary prostokątów muszą być dodatnie)

Dane:

Całkowita długość siatki: $ 120\text{ m} $
Dwa prostokąty, jeden jest podobny do drugiego w skali $ 2 $
Warunek: suma pól obu placów ma być największa

Szukane: Wymiary obu placów

Wzory ogólne:

$$ Obw_1 = 2x + 2y $$

$$ Obw_2 = 2(2x) + 2(2y) = 4x + 4y $$

$$ P = P_1 + P_2 $$

x_w = -\frac{b}{2a}

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy znaleźć wymiary dwóch podobnych w skali 2 prostokątów ogrodzonych siatką o długości $ 120\text{ m} $, tak aby ich łączne pole było maksymalne.
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Niech wymiary pierwszego prostokąta to $ x $ oraz $ y $. Wtedy wymiary drugiego (większego w skali $ 2 $) to $ 2x $ oraz $ 2y $.
- Suma obwodów obu prostokątów równa się długości użytej siatki: $$$ (2x + 2y) + (4x + 4y) = 120 $$$ $$$ 6x + 6y = 120 $$$ $x + y = 20 \implies y = 20 - x$
- Zapisujemy łączną sumę pól obu prostokątów: $P(x) = x \cdot y + (2x) \cdot (2y)$ $$$ P(x) = xy + 4xy = 5xy $$$
- Podstawiamy $ y = 20 - x $ do wzoru na pole: $$$ P(x) = 5x(20 - x) $$$ $$$ P(x) = 100x - 5x^2 $$$ $$$ P(x) = -5x^2 + 100x $$$
- Współczynniki to $ a = -5 $, $ b = 100 $. Szukamy wierzchołka paraboli ($ a < 0 $): $x_w = -\frac{100}{2 \cdot (-5)} = \frac{-100}{-10} = 10$
- Obliczamy $ y $: $$$ y = 20 - 10 = 10 $$$
- Wymiary pierwszego prostokąta to $ 10\text{ m} \times 10\text{ m} $, a drugiego (w skali $ 2 $) to $ 20\text{ m} \times 20\text{ m} $.
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Otrzymaliśmy wymiary $ 10\text{ m} \times 10\text{ m} $ oraz $ 20\text{ m} \times 20\text{ m} $.
Odpowiedź: Wymiary mniejszego placu to $ 10\text{ m} \times 10\text{ m} $, a większego $ 20\text{ m} \times 20\text{ m} $.

Zadanie 17

W trójkącie suma długości boku $ a $ i wysokości $ h $ opuszczonej na ten bok jest równa 4. Wyznacz wartości $ a $ i $ h $ tak, aby pole trójkąta było największe.

Założenia / Dziedzina:

a > 0 \quad \text{oraz} \quad h > 0

(długości boku i wysokości muszą być dodatnie)

Dane:

Suma boku i wysokości: $ a + h = 4 $
Warunek: pole trójkąta jest największe

Szukane: Wartości $ a $ oraz $ h $

Wzory ogólne:

P = \frac{1}{2}a \cdot h

$$ h = 4 - a $$

x_w = -\frac{b}{2a}

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy wyznaczyć długość boku trójkąta $ a $ i odpowiednią wysokość $ h $, aby przy ich stałej sumie pole trójkąta osiągnęło wartość maksymalną.
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Z warunku zadania wyznaczamy wysokość: $ h = 4 - a $.
- Tworzymy funkcję pola trójkąta w zależności od boku $ a $: $P(a) = \frac{1}{2}a(4 - a)$ $$$ P(a) = 2a - 0,5a^2 $$$ $$$ P(a) = -0,5a^2 + 2a $$$
- Współczynniki to $ a = -0,5 $, $ b = 2 $. Szukamy wierzchołka paraboli ($ a < 0 $): $a_w = -\frac{2}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{-2}{-1} = 2$
- Obliczamy wysokość $ h $: $$$ h = 4 - 2 = 2 $$$
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Otrzymaliśmy $ a = 2 $ oraz $ h = 2 $.
Odpowiedź: Szukane wartości to $ a = 2 $ oraz $ h = 2 $.

Zadanie 18

Z drutu o długości $ 24\text{ dm} $ należy zbudować szkielet prostopadłościanu o kwadratowej podstawie. Jakie wymiary powinien mieć ten prostopadłościan, aby jego pole powierzchni całkowitej było największe?

Założenia / Dziedzina:

x > 0 \quad \text{oraz} \quad H > 0

(krawędzie prostopadłościanu muszą być dodatnie)

Dane:

Suma długości krawędzi drutu: $ 24\text{ dm} $
Podstawa: kwadrat o boku $ x $
Warunek: pole powierzchni całkowitej jest największe

Szukane: Wymiary prostopadłościanu ($ x $ oraz wysokość $ H $)

Wzory ogólne:

Suma krawędzi: $ 4x + 4x + 4H = 24 \implies 8x + 4H = 24 $
Pole całkowite: $ P_c = 2x^2 + 4xH $
Wierzchołek: $ x_w = -\frac{b}{2a} $

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy znaleźć wymiary prostopadłościanu o podstawie kwadratowej zbudowanego z $ 24\text{ dm} $ drutu, dla którego pole powierzchni całkowitej jest maksymalne.
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Z sumy krawędzi wyznaczamy wysokość $ H $: $$$ 8x + 4H = 24 $$$ $$$ 4H = 24 - 8x $$$ $$$ H = 6 - 2x $$$
- Ponieważ $ H > 0 $, otrzymujemy dziedzinę dla $ x $: $ 6 - 2x > 0 \implies x < 3 $.
- Tworzymy funkcję pola powierzchni całkowitej $ P_c(x) $: $$$ P_c(x) = 2x^2 + 4x(6 - 2x) $$$ $$$ P_c(x) = 2x^2 + 24x - 8x^2 $$$ $$$ P_c(x) = -6x^2 + 24x $$$
- Współczynniki to $ a = -6 $, $ b = 24 $. Szukamy wierzchołka paraboli ($ a < 0 $): $x_w = -\frac{24}{2 \cdot (-6)} = \frac{-24}{-12} = 2$
- Obliczamy wysokość $ H $: $H = 6 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Wymiary podstawy to $ 2\text{ dm} \times 2\text{ dm} $, a wysokość to $ 2\text{ dm} $ (zatem jest to sześcian).
Odpowiedź: Prostopadłościan powinien mieć wymiary $ 2\text{ dm} \times 2\text{ dm} \times 2\text{ dm} $.

Zadanie 19

Przedstaw liczbę 2012 jako sumę takich dwóch liczb, że suma kwadratów tych liczb jest najmniejsza.

Założenia / Dziedzina:

x \in \mathbb{R}

Dane:

Suma dwóch liczb: $ x + y = 2012 $
Warunek: suma kwadratów $ S = x^2 + y^2 $ ma być najmniejsza

Szukane: Obie liczby $ x $ i $ y $

Wzory ogólne:

$$ y = 2012 - x $$

$$ S(x) = x^2 + (2012 - x)^2 $$

x_w = -\frac{b}{2a}

CO CHCEMY TU ZROBIĆ I PO CO?
Chcemy rozbić liczbę 2012 na dwie składniki tak, aby suma ich kwadratów osiągała wartość minimalną.
JAK TO ROZBIJAMY KROK PO KROKU:
- Oznaczmy jedną liczbę jako $ x $, a drugą jako $ 2012 - x $.
- Tworzymy funkcję sumy kwadratów $ S(x) $: $$$ S(x) = x^2 + (2012 - x)^2 $$$ $S(x) = x^2 + 2012^2 - 2 \cdot 2012x + x^2$ $$$ S(x) = 2x^2 - 4024x + 2012^2 $$$
- Współczynniki to $ a = 2 $, $ b = -4024 $. Ponieważ $ a > 0 $, parabola ma ramiona w górę, więc najmniejsza wartość jest w wierzchołku: $x_w = -\frac{-4024}{2 \cdot 2}$ $x_w = \frac{4024}{4} = 1006$
- Obliczamy drugą liczbę $ y $: $$$ y = 2012 - 1006 = 1006 $$$
CO NAM Z TEGO WYSZŁO I ODPOWIEDŹ:
Obie szukane liczby są równe $ 1006 $.
Odpowiedź: Liczbę 2012 należy przedstawić jako sumę liczb $ 1006 $ i $ 1006 $.

Cena \( x \) w zł	40	50	60	70	80	90
Liczba lalek \( s \)	2000	1600	1200	800	400	0