Zbiór Notatek i Zadań - Funkcja Kwadratowa

Temat 1.1: Właściwości funkcji f(x) = ax²

Ten temat dotyczy funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej bazowej: \(f(x) = ax^2\) (gdzie \(a \neq 0\)). Wykresem takiej funkcji jest krzywa nazywana parabolą.

Oto zestaw wybranych z załączonego dokumentu zadań, które dokładnie odpowiadają tematowi \(f(x) = ax^2\):

---

Zadanie 76 (Grupa A)

Polecenie:

Punkt P należy do wykresu funkcji \(f(x)=ax^{2}.\) Oblicz a, jeżeli:
a) \(P=(1,4),\)
b) \(P=(\sqrt{2},-3),\)
c) \(P=(-8,-24).\)

Rozwiązanie krok po kroku:

Jeżeli punkt \(P = (x, y)\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = ax^2\), to jego współrzędne spełniają równanie \(y = ax^2\) (gdzie \(y = f(x)\)).

• Podpunkt a) \(P=(1,4)\)
  1. Krok 1 (Podstawienie współrzędnych): Podstawiamy \(x = 1\) oraz \(y = 4\) do wzoru \(y = ax^2\): $$4 = a \cdot 1^2$$
  2. Krok 2 (Obliczenie \(a\)): Podnosimy \(1\) do kwadratu (\(1^2 = 1\)): $$4 = a \cdot 1 \implies a = 4$$

  Odpowiedź: \(a = 4\)

• Podpunkt b) \(P=(\sqrt{2},-3)\)
  1. Krok 1 (Podstawienie współrzędnych): Podstawiamy \(x = \sqrt{2}\) oraz \(y = -3\) do wzoru \(y = ax^2\): $$-3 = a \cdot (\sqrt{2})^2$$
  2. Krok 2 (Obliczenie \(a\)): Obliczamy \((\sqrt{2})^2 = 2\): $$-3 = a \cdot 2$$
  3. Krok 3 (Wyznaczenie \(a\)): Dzielimy obie strony przez \(2\): $$a = -\frac{3}{2}$$

  Odpowiedź: \(a = -\frac{3}{2}\)

• Podpunkt c) \(P=(-8,-24)\)
  1. Krok 1 (Podstawienie współrzędnych): Podstawiamy \(x = -8\) oraz \(y = -24\) do wzoru \(y = ax^2\): $$-24 = a \cdot (-8)^2$$
  2. Krok 2 (Obliczenie \(a\)): Podnosimy \(-8\) do kwadratu (\((-8)^2 = 64\)): $$-24 = a \cdot 64$$
  3. Krok 3 (Wyznaczenie \(a\)): Dzielimy obie strony przez \(64\) i skracamy ułamek: $$a = \frac{-24}{64} = -\frac{3}{8}$$

  Odpowiedź: \(a = -\frac{3}{8}\)

---

Zadanie 79 (Grupa A)

Polecenie:

Do wykresu funkcji \(f(x)=-\frac{2}{3}x^{2}\) należy punkt o współrzędnych:
A. \((-6,-8)\)
B. \((-6,-16)\)
C. \((-6,24)\)
D. \((-6,-24)\)

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1: Wszystkie proponowane odpowiedzi mają pierwszą współrzędną \(x = -6\). Podstawiamy \(x = -6\) bezpośrednio do wzoru funkcji \(f(x) = -\frac{2}{3}x^2\): $$f(-6) = -\frac{2}{3} \cdot (-6)^2$$
2. Krok 2: Obliczamy kwadrat liczby \(-6\): $$(-6)^2 = 36$$
3. Krok 3: Mnożymy otrzymany wynik przez \(-\frac{2}{3}\): $$f(-6) = -\frac{2}{3} \cdot 36 = -2 \cdot 12 = -24$$
4. Krok 4: Szukanym punktem jest \((-6, -24)\).

Odpowiedź: D

---

Zadanie 72 (Grupa A)

Polecenie:

Wykres funkcji \(f(x)=ax^{2}\) przechodzi przez punkt \(A=(-2,8).\) Podaj przedziały monotoniczności tej funkcji.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wyznaczenie współczynnika \(a\)): Podstawiamy współrzędne punktu \(A=(-2, 8)\) do wzoru \(y = ax^2\): $$8 = a \cdot (-2)^2$$ $$8 = a \cdot 4$$ $$a = 2$$
2. Krok 2 (Analiza znaku \(a\)): Ponieważ \(a = 2 > 0\), ramiona paraboli są skierowane do góry.
3. Krok 3 (Wyznaczenie monotoniczności): Dla paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie \((0,0)\):
   • Funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty, 0\rangle\).
   • Funkcja jest rosnąca w przedziale \(\langle 0, \infty)\).

---

Zadanie 63 (Grupa A)

Polecenie:

Wykres funkcji \(f(x)=-3x^{2}\) przesunięto o 2 jednostki w lewo. Napisz wzór otrzymanej funkcji g i podaj jej przedziały monotoniczności.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Zastosowanie reguły przesunięcia): Przesunięcie wykresu funkcji \(f(x)\) o \(p\) jednostek w lewo oznacza zastąpienie argumentu \(x\) przez \((x + p)\). Tutaj przesuwamy o \(2\) jednostki w lewo, więc wzór nowej funkcji \(g(x)\) to: $$g(x) = -3(x + 2)^2$$
2. Krok 2 (Określenie wierzchołka): Wierzchołek nowej paraboli znajduje się w punkcie \(W = (-2, 0)\).
3. Krok 3 (Określenie kierunku ramion): Współczynnik stojący przy kwadracie wynosi \(a = -3 < 0\), co oznacza, że ramiona paraboli są skierowane w dół.
4. Krok 4 (Określenie przedziałów monotoniczności): Skoro parabola ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek dla \(x = -2\):
   • Funkcja \(g\) jest rosnąca w przedziale \((-\infty, -2\rangle\).
   • Funkcja \(g\) jest malejąca w przedziale \(\langle -2, \infty)\).

---

Zadanie 24 (Grupa A)

Polecenie:

Prosta o równaniu \(y=9\) przecina wykres funkcji \(f(x)=ax^{2}\) w dwóch punktach, z których jeden ma odciętą \(x=\sqrt{3}.\) Wyznacz współczynnik a.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Zrozumienie treści zadania): Odcięta punktu to jego pierwsza współrzędna \(x\), a rzędna to współrzędna \(y\). Punkt przecięcia leży na prostej \(y = 9\), więc jego druga współrzędna wynosi \(y = 9\). Mamy więc punkt \(P = (\sqrt{3}, 9)\), który należy do wykresu funkcji \(f(x) = ax^2\).
2. Krok 2 (Podstawienie punktu do wzoru): Podstawiamy \(x = \sqrt{3}\) oraz \(y = 9\) do równania \(y = ax^2\): $$9 = a \cdot (\sqrt{3})^2$$
3. Krok 3 (Obliczenie kwadratu): Obliczamy \((\sqrt{3})^2 = 3\): $$9 = a \cdot 3$$
4. Krok 4 (Wyznaczenie \(a\)): Dzielimy obie strony przez \(3\): $$a = 3$$

Odpowiedź: Współczynnik \(a = 3\).

---

Zadanie 77 (Grupa A)

Polecenie:

Równanie paraboli przedstawionej na rysunku ma postać:
A. \(y=\frac{1}{2}x^{2}\)
B. \(y=-\frac{1}{2}x^{2}\)
C. \(y=2x^{2}\)
D. \(y=-2x^{2}\)

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Odczytanie właściwości z rysunku): Z rysunku w zadaniu 77 widzimy, że:
   • Wierzchołek znajduje się w punkcie \((0,0)\).
   • Ramiona paraboli są skierowane w dół, co oznacza, że współczynnik \(a\) musi być ujemny (\(a < 0\)). Odrzuca to odpowiedzi A i C.
2. Krok 2 (Odczytanie współrzędnych punktu z kratki): Wykres przechodzi dokładnie przez punkt \((1, -2)\) lub \((-1, -2)\) (na osi \(X\) wartość \(1\), na osi \(Y\) wartość \(-2\)).
3. Krok 3 (Sprawdzenie punktu w pozostałych wzorach):
   • Dla opcji B (\(y = -\frac{1}{2}x^2\)): dla \(x = 1\) mamy \(y = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -\frac{1}{2}\).
   • Dla opcji D (\(y = -2x^2\)): dla \(x = 1\) mamy \(y = -2 \cdot 1^2 = -2\).

Odpowiedź: D

---

Zadanie 78 (Grupa A)

Polecenie:

Wśród podanych funkcji wskaż tę, dla której odległość od osi OX punktu o odciętej \(x=1\) należącego do wykresu tej funkcji jest najmniejsza.
A. \(y=-\frac{2}{3}x^{2}\)
B. \(y=-\frac{1}{2}x^{2}\)
C. \(y=0,2x^{2}\)
D. \(y=\frac{1}{9}x^{2}\)

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wyznaczenie rzędnej \(y\) dla \(x = 1\) dla każdej funkcji): Odległość punktu \((1, y)\) od osi \(OX\) wynosi \(|y|\) (wartość bezwzględna ze współrzędnej \(y\)).
   • A: \(y = -\frac{2}{3} \cdot 1^2 = -\frac{2}{3} \implies \text{odległość} = \left|-\frac{2}{3}\right| = \frac{2}{3} \approx 0,67\)
   • B: \(y = -\frac{1}{2} \cdot 1^2 = -\frac{1}{2} \implies \text{odległość} = \left|-\frac{1}{2}\right| = \frac{1}{2} = 0,5\)
   • C: \(y = 0,2 \cdot 1^2 = 0,2 \implies \text{odległość} = |0,2| = 0,2\)
   • D: \(y = \frac{1}{9} \cdot 1^2 = \frac{1}{9} \implies \text{odległość} = \left|\frac{1}{9}\right| = \frac{1}{9} \approx 0,11\)
2. Krok 2 (Porównanie odległości): Najmniejszą wartością spośród \(\{0,67;\ 0,5;\ 0,2;\ 0,11\}\) jest \(\frac{1}{9} \approx 0,11\).

Odpowiedź: D

---

Zadanie 74 (Grupa A)

Polecenie:

Punkty \(A=(2,a)\), \(B=(\sqrt{2}-4,b)\), \(C=(c,-12)\) należą do wykresu funkcji \(y=-\frac{3}{4}x^{2}\). Wyznacz wartości a, b i c.

Rozwiązanie krok po kroku:

• Obliczenie \(a\) (dla punktu \(A=(2,a)\)):
  1. Podstawiamy \(x = 2\) do wzoru funkcji: $$a = -\frac{3}{4} \cdot 2^2 = -\frac{3}{4} \cdot 4 = -3$$
• Obliczenie \(b\) (dla punktu \(B=(\sqrt{2}-4,b)\)):
  1. Podstawiamy \(x = \sqrt{2}-4\) do wzoru funkcji: $$b = -\frac{3}{4} \cdot (\sqrt{2}-4)^2$$
  2. Stosujemy wzór skróconego mnożenia \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\): $$(\sqrt{2}-4)^2 = 2 - 8\sqrt{2} + 16 = 18 - 8\sqrt{2}$$
  3. Mnożymy przez \(-\frac{3}{4}\): $$b = -\frac{3}{4} \cdot (18 - 8\sqrt{2}) = -\frac{54}{4} + \frac{24\sqrt{2}}{4} = -13,5 + 6\sqrt{2}$$
• Obliczenie \(c\) (dla punktu \(C=(c,-12)\)):
  1. Podstawiamy \(y = -12\) i \(x = c\) do wzoru funkcji: $$-12 = -\frac{3}{4}c^2$$
  2. Mnożymy obie strony przez \(-\frac{4}{3}\): $$c^2 = -12 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = 16$$
  3. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy: $$c = 4 \quad \text{lub} \quad c = -4$$

Odpowiedź: \(a = -3\), \(b = -13,5 + 6\sqrt{2}\), \(c = 4\) lub \(c = -4\).

---

Zadanie 70 (Grupa A)

Polecenie:

Oblicz pole trapezu, którego wierzchołkami są punkty przecięcia wykresu funkcji \(f(x)=2x^{2}\) oraz prostych o równaniach y = 2 i y = 8.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wyznaczenie punktów przecięcia z prostą \(y = 2\)): $$2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{lub} \quad x = -1$$ Dwa wierzchołki podstawy dolnej trapezu to \(D = (-1, 2)\) i \(C = (1, 2)\).
   Długość krótszej podstawy \(b = 1 - (-1) = 2\).
2. Krok 2 (Wyznaczenie punktów przecięcia z prostą \(y = 8\)): $$2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \quad \text{lub} \quad x = -2$$ Dwa wierzchołki podstawy górnej trapezu to \(A = (-2, 8)\) i \(B = (2, 8)\).
   Długość dłuższej podstawy \(a = 2 - (-2) = 4\).
3. Krok 3 (Obliczenie wysokości trapezu \(h\)): Trapez rozciąga się od prostej \(y = 2\) do prostej \(y = 8\): $$h = 8 - 2 = 6$$
4. Krok 4 (Obliczenie pola trapezu): $$P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{4 + 2}{2} \cdot 6 = \frac{6}{2} \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18$$

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi \(18\).

Temat 1.2: Przesunięcie wykresu funkcji f(x)=ax² wzdłuż osi OY i osi OX

Temat 1.2. Przesunięcie wykresu funkcji \(f(x)=ax^2\) wzdłuż osi OY i osi OX dotyczy tego, co dzieje się z parabolą, gdy przesuwamy ją w pionie (w górę/w dół) lub w poziomie (w lewo/w prawo).

Otrzymujemy w ten sposób postać kanoniczną funkcji kwadratowej:

$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$

---

Proste wytłumaczenie tematu krok po kroku

1. Przesunięcie w pionie (wzdłuż osi \(OY\)): zmiana liczby \(q\)
   • Wzór: \(y = ax^2 + q\)
   • \(+q\) (dodatnie) \(\rightarrow\) przesuwamy wykres w górę o \(q\) jednostek.
   • \(-q\) (ujemne) \(\rightarrow\) przesuwamy wykres w dół o \(q\) jednostek.
   • Przykład: \(f(x) = 2x^2 - 4\) powstaje z przesunięcia \(y = 2x^2\) o \(4\) jednostki w dół.
2. Przesunięcie w poziomie (wzdłuż osi \(OX\)): zmiana liczby \(p\)
   • Wzór: \(y = a(x - p)^2\)
   • \((x - p)\) (z minusem w nawiasie) \(\rightarrow\) przesuwamy wykres w prawo o \(p\) jednostek.
   • \((x + p)\) (z plusem w nawiasie) \(\rightarrow\) przesuwamy wykres w lewo o \(p\) jednostek.
   • Przykład: \(f(x) = 2(x - 3)^2\) powstaje z przesunięcia \(y = 2x^2\) o \(3\) jednostki w prawo.
3. Połączenie obu przesunięć i wierzchołek paraboli \((p, q)\)
   • Gdy połączymy oba ruchy: \(f(x) = a(x - p)^2 + q\).
   • Wierzchołek paraboli \(W\) przesuwa się z punktu \((0,0)\) do punktu \(W = (p, q)\).
   • Oś symetrii paraboli to pionowa prosta o równaniu \(x = p\).

---

Wybrane zadania z pliku PDF dotyczące tematu 1.2

---

Zadanie 65 (Grupa A)

Polecenie:

Parabolę o równaniu \(y=\frac{1}{3}x^{2}\) przesunięto tak, że jej wierzchołek znalazł się w punkcie \(W(-1,2).\) W ten sposób otrzymano parabolę o równaniu:
A. \(y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}-2,\)
B. \(y=\frac{1}{3}(x+1)^{2}-2\)
C. \(y=\frac{1}{3}(x-1)^{2}+2;\)
D. \(y=\frac{1}{3}(x+1)^{2}+2\)

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Odczytanie wierzchołka): Wierzchołek paraboli ma współrzędne \(W = (p, q) = (-1, 2)\), czyli \(p = -1\) oraz \(q = 2\).
2. Krok 2 (Podstawienie do postaci kanonicznej): Wzór ogólny postaci kanonicznej to \(y = a(x - p)^2 + q\). W tym przypadku \(a = \frac{1}{3}\): $$y = \frac{1}{3}(x - (-1))^2 + 2$$
3. Krok 3 (Uproszczenie znaków): Ponieważ \(x - (-1) = x + 1\), otrzymujemy: $$y = \frac{1}{3}(x + 1)^2 + 2$$

Odpowiedź: D

---

Zadanie 66 (Grupa A)

Polecenie:

Wierzchołkiem paraboli o równaniu \(y=-2(3-x)^{2}\) jest punkt:
A. (-3, 0),
B. (3, 0),
C. (-2, 0),
D. (0, 3).

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Przekształcenie nawiasu): Zauważmy, że \((3 - x)^2 = (-(x - 3))^2 = (x - 3)^2\).
   Wzór można zapisać w standardowej postaci kanonicznej: \(y = -2(x - 3)^2 + 0\).
2. Krok 2 (Odczytanie \(p\) i \(q\)): Z porównania ze wzorem \(y = a(x - p)^2 + q\) odczytujemy \(p = 3\) oraz \(q = 0\).
3. Krok 3 (Wyznaczenie wierzchołka): Współrzędne wierzchołka \(W = (p, q) = (3, 0)\).

Odpowiedź: B

---

Zadanie 18 (Grupa A – fragment tabeli)

Polecenie:

Wykres funkcji g powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f wzdłuż osi OX i OY. Uzupełnij tabelę.
1. \(f(x) = 3x^2\), Opis przesunięcia: 1 jednostka w lewo, 3 jednostki w górę
2. \(f(x) = -x^2\), Opis przesunięcia: \(\frac{1}{2}\) jednostki w prawo, 5 jednostek w dół

Rozwiązanie krok po kroku:

• Część 1: \(f(x) = 3x^2\) przesunięta o 1 w lewo (\(p = -1\)) i 3 w górę (\(q = 3\)):
  1. Przesunięcie o 1 w lewo daje nawias \((x + 1)^2\).
  2. Przesunięcie o 3 w górę daje \(+ 3\) na końcu.
  3. Stąd wzór: \(g(x) = 3(x + 1)^2 + 3\).
• Część 2: \(f(x) = -x^2\) przesunięta o \(\frac{1}{2}\) w prawo (\(p = \frac{1}{2}\)) i 5 w dół (\(q = -5\)):
  1. Przesunięcie o \(\frac{1}{2}\) w prawo daje nawias \(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2\).
  2. Przesunięcie o 5 w dół daje \(- 5\) na końcu.
  3. Stąd wzór: \(g(x) = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 5\).

---

Zadanie 58 (Grupa A)

Polecenie:

Wykres funkcji \(f(x)=4x^{2}\) przesunięto o 5 jednostek w prawo wzdłuż osi OX, a następnie o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. Otrzymano wykres funkcji g. Podaj:
a) wzór funkcji g,
b) najmniejszą wartość, jaką przyjmuje funkcja g,
c) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja g jest rosnąca.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Podpunkt a - Wyznaczenie wzoru):
   Przesunięcie \(f(x) = 4x^2\) o 5 jednostek w prawo (\(p = 5\)) i 1 w dół (\(q = -1\)): $$g(x) = 4(x - 5)^2 - 1$$
2. Krok 2 (Podpunkt b - Najmniejsza wartość):
   Ponieważ \(a = 4 > 0\), ramiona paraboli są skierowane w górę. Najmniejszą wartość funkcja osiąga w wierzchołku i wynosi ona \(q\): $$y_{\min} = -1 \quad (\text{dla } x = 5)$$
3. Krok 3 (Podpunkt c - Monotoniczność):
   Wierzchołek znajduje się dla \(x = 5\). Funkcja z ramionami skierowanymi w górę rośnie po prawej stronie wierzchołka: $$\text{Funkcja jest rosnąca dla } x \in \langle 5, \infty)$$

---

Zadanie 62 (Grupa A)

Polecenie:

Wykres funkcji \(f(x)=\sqrt{2}x^{2}\) przesunięto o 3 jednostki w lewo i otrzymano wykres funkcji g. Podaj wzór funkcji g i współrzędne punktu, w którym jej wykres przecina oś OY.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wyznaczenie wzoru \(g(x)\)): Przesunięcie o 3 jednostki w lewo oznacza podstawienie \((x + 3)\) w miejsce \(x\): $$g(x) = \sqrt{2}(x + 3)^2$$
2. Krok 2 (Przecięcie z osi OY): Punkt przecięcia z osi \(OY\) zachodzi dla argumentu \(x = 0\): $$g(0) = \sqrt{2}(0 + 3)^2 = \sqrt{2} \cdot 3^2 = 9\sqrt{2}$$
3. Krok 3 (Zapisanie współrzędnych): Punkt przecięcia ma współrzędne \((0, 9\sqrt{2})\).

---

Zadanie 61 (Grupa A)

Polecenie:

Naszkicuj wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{3}(x-1)^{2}-3.\) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji. Podaj zbiór wartości i miejsca zerowe funkcji f.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Odczytanie wierzchołka \(W\)):
   Wzór funkcji podano w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\).
   Odczytujemy \(p = 1\) oraz \(q = -3\).
   Współrzędne wierzchołka to \(W = (1, -3)\).
2. Krok 2 (Wyznaczenie zbioru wartości):
   Ponieważ \(a = \frac{1}{3} > 0\), ramiona paraboli są skierowane w górę.
   Najmniejszą wartością funkcji jest \(y = -3\) (dla \(x = 1\)).
   Zbiór wartości: \(Y \in \langle -3; \infty)\).
3. Krok 3 (Wyznaczenie miejsc zerowych):
   Miejsca zerowe to argumenty \(x\), dla których \(f(x) = 0\): $$\frac{1}{3}(x-1)^2 - 3 = 0$$ $$\frac{1}{3}(x-1)^2 = 3$$ Mnożymy obie strony przez \(3\): $$(x-1)^2 = 9$$ Pierwiastkujemy obie strony: $$x - 1 = 3 \quad \text{lub} \quad x - 1 = -3$$ $$x_1 = 4, \quad x_2 = -2$$ Miejsca zerowe: \(x = -2\) oraz \(x = 4\).
4. Krok 4 (Szkic wykresu):
   Zaznaczamy wierzchołek \(W(1, -3)\), punkty przecięcia z osiami i łączymy je gładką parabolą.

---

Zadanie 16 (Grupa A)

Polecenie:

Wykres funkcji \(f(x)=4x^{2}\) przesunięto o 5 jednostek w prawo i 1 jednostkę w dół i otrzymano wykres funkcji g. Podaj:
a) wzór funkcji g,
b) najmniejszą wartość, jaką przyjmuje funkcja g,
c) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja g jest rosnąca.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Podpunkt a - Wyznaczenie wzoru):
   Przesunięcie o 5 w prawo oznacza zamianę \(x\) na \((x - 5)\).
   Przesunięcie o 1 w dół oznacza odjęcie \(1\) na końcu wzoru.
   Wzór: \(g(x) = 4(x - 5)^2 - 1\)
2. Krok 2 (Podpunkt b - Najmniejsza wartość):
   Współczynnik \(a = 4 > 0\), więc funkcja ma ramiona skierowane w górę i osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku \(W(5, -1)\).
   Najmniejsza wartość: \(y_{\min} = -1\).
3. Krok 3 (Podpunkt c - Przedział rosnący):
   Dla \(a > 0\) funkcja jest rosnąca na prawo od pierwszej współrzędnej wierzchołka (\(x = p = 5\)).
   Przedział: \(x \in \langle 5; \infty)\).

---

Zadanie 60 (Grupa A)

Polecenie:

Wykres funkcji \(f(x)=-3x^{2}\) przesunięto wzdłuż osi OX tak, że przechodzi on przez punkt \((-6,-12).\) O ile jednostek przesunięto ten wykres?

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Zapisanie wzoru po przesunięciu):
   Przesunięcie o \(p\) jednostek wzdłuż osi \(OX\) daje wzór \(g(x) = -3(x - p)^2\).
2. Krok 2 (Podstawienie punktu \((-6, -12)\)):
   Podstawiamy \(x = -6\) oraz \(y = -12\) do wzoru: $$-12 = -3(-6 - p)^2$$
3. Krok 3 (Obliczenie \(p\)):
   Dzielimy obie strony przez \(-3\): $$4 = (-6 - p)^2$$ Pierwiastkujemy obie strony: $$-6 - p = 2 \quad \text{lub} \quad -6 - p = -2$$ $$-p = 8 \implies p = -8$$ $$-p = 4 \implies p = -4$$
4. Krok 4 (Interpretacja wyniku):
   • Jeśli \(p = -4\), przesunięto wykres o 4 jednostki w lewo.
   • Jeśli \(p = -8\), przesunięto wykres o 8 jednostek w lewo.

---

Zadanie 67 (Grupa A)

Polecenie:

Wskaż równanie paraboli, której wierzchołek nie należy do osi OY.
A. \(y=-(x+\frac{3}{4})^{2}\)
B. \(y=-\sqrt{2}x^{2}\)
C. \(y=x^{2}+3\)
D. \(y=-x^{2}+4\)

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Zrozumienie warunku):
   Wierzchołek paraboli należy do osi \(OY\), gdy jego pierwsza współrzędna wynosi \(p = 0\).
   Szukamy paraboli, dla której \(p \neq 0\) (czyli nastąpiło przesunięcie w lewo lub w prawo).
2. Krok 2 (Analiza opcji):
   • A: \(y = -(x + \frac{3}{4})^2 \implies W = (-\frac{3}{4}, 0)\), więc \(p = -\frac{3}{4} \neq 0\).
   • B: \(y = -\sqrt{2}x^2 \implies W = (0, 0)\), więc \(p = 0\).
   • C: \(y = x^2 + 3 \implies W = (0, 3)\), więc \(p = 0\).
   • D: \(y = -x^2 + 4 \implies W = (0, 4)\), więc \(p = 0\).

Odpowiedź: A

---

Zadanie 68 (Grupa A)

Polecenie:

Wskaż zbiór wartości funkcji \(f(x)=3x^{2}-2.\)
A. \((-\infty;-2)\)
B. \((3;\infty)\)
C. \((-\infty;3)\)
D. \(\langle-2;\infty)\)

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wyznaczenie wierzchołka \(W\)):
   Funkcja \(f(x) = 3x^2 - 2\) powstała z przesunięcia \(y = 3x^2\) o 2 jednostki w dół.
   Wierzchołek to \(W = (0, -2)\), czyli \(q = -2\).
2. Krok 2 (Określenie zbioru wartości):
   Ponieważ \(a = 3 > 0\), ramiona skierowane są do góry. Najmniejszą wartością jest \(q = -2\).
   Zbiór wartości to \(\langle -2; \infty)\).

Odpowiedź: D

Temat 1.3: Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (1)

Temat 1.3. Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej (1) dotyczy przechodzenia między dwiema różnymi postaciami tej samej funkcji oraz wyznaczania jej wierzchołka i wyróżnika (\(\Delta\)).

---

Proste wytłumaczenie tematu krok po kroku

1. Dwie postaci funkcji kwadratowej:
   • Postać ogólna: \(y = ax^2 + bx + c\)
     (widzimy łatwo punkt przecięcia z osi \(OY\), którym jest \((0, c)\)).
   • Postać kanoniczna: \(y = a(x - p)^2 + q\)
     (widzimy od razu współrzędne wierzchołka paraboli \(W = (p, q)\)).
2. Przejście z kanonicznej do ogólnej (Łatwe — rozwijanie nawiasu):
   • Używamy wzorów skróconego mnożenia: \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\).
   • Podnosimy nawias do kwadratu, mnożymy przez \(a\) i redukujemy wyraz wolny.
   • Przykład: \(y = 3(x - 4)^2 - 7 = 3(x^2 - 8x + 16) - 7 = 3x^2 - 24x + 48 - 7 = 3x^2 - 24x + 41\).
3. Przejście z ogólnej do kanonicznej (Wzory na \(p\), \(q\) oraz \(\Delta\)):
   • Wyznaczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego \(\Delta\) (delta): $$\Delta = b^2 - 4ac$$
   • Obliczamy współrzędne wierzchołka \(W = (p, q) = (x_w, y_w)\) ze wzorów: $$p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a}$$
   • Wstawiamy \(a\), \(p\) oraz \(q\) do wzoru \(y = a(x - p)^2 + q\).

---

Zadania z pliku PDF dotyczące tematu 1.3

---

Zadanie 64 (Grupa A)

Polecenie:

Wskazać postać kanoniczną funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^{2}+4x+1.\)
A. \(f(x)=2(x+1)^{2}-1\)
B. \(f(x)=2(x-1)^{2}-1\)
C. \(f(x)=2(x+1)^{2}+1\)
D. \(f(x)=2(x-1)^{2}+1\)

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wypisanie współczynników):
   Dla \(f(x) = 2x^2 + 4x + 1\) mamy: \(a = 2\), \(b = 4\), \(c = 1\).
2. Krok 2 (Obliczenie \(p\)): $$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$$
3. Krok 3 (Obliczenie \(\Delta\) i \(q\)): $$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$$ $$q = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{8}{4 \cdot 2} = -\frac{8}{8} = -1$$
4. Krok 4 (Zapisanie postaci kanonicznej):
   Podstawiamy \(a = 2\), \(p = -1\), \(q = -1\) do wzoru \(f(x) = a(x - p)^2 + q\): $$f(x) = 2(x - (-1))^2 - 1 = 2(x + 1)^2 - 1$$

Odpowiedź: A

---

Zadanie 69 (Grupa A)

Polecenie:

Wskaż postać ogólną funkcji \(f(x)=-2(x+3)^{2}+5.\)
A. \(f(x)=-2x^{2}-12x-13\)
B. \(f(x)=-2x^{2}+12x-13\)
C. \(f(x)=-2x^{2}-12x+14\)
D. \(f(x)=-2x^{2}+5\)

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia):
   Rozwijamy nawias \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\): $$f(x) = -2(x^2 + 6x + 9) + 5$$
2. Krok 2 (Wymnożenie przez \(-2\)): $$f(x) = -2x^2 - 12x - 18 + 5$$
3. Krok 3 (Redukcja wyrazów podobnych): $$f(x) = -2x^2 - 12x - 13$$

Odpowiedź: A

---

Zadanie 17 (Grupa A – fragment dotyczący przekształcenia)

Polecenie:

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) oraz przedstaw tę funkcję w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Odczytanie współczynników):
   \(a = -1\), \(b = 6\), \(c = -5\).
2. Krok 2 (Obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka \(p\)): $$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$$
3. Krok 3 (Obliczenie drugiej współrzędnej \(q\)):
   Możemy użyć wzoru z \(\Delta\) lub obliczyć wartość funkcji dla \(x = p = 3\) (prostszy sposób): $$q = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$$
4. Krok 4 (Podanie wierzchołka i wzoru kanonicznego):
   • Wierzchołek: \(W = (3, 4)\)
   • Postać kanoniczna: \(f(x) = -(x - 3)^2 + 4\)

---

Zadanie 57 (Grupa A)

Polecenie:

Sprawdź, czy funkcja \(f(x)=2x^{2}-8x+10\) przyjmuje wartość najmniejszą równą 2.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Analiza kierunku ramion):
   Współczynnik \(a = 2 > 0\), co oznacza, że parabola ma ramiona skierowane w górę, więc faktycznie posiada wartość najmniejszą w swoim wierzchołku (\(y_{\min} = q\)).
2. Krok 2 (Obliczenie \(p\)): $$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$
3. Krok 3 (Obliczenie wartości najmniejszej \(q\)):
   Podstawiamy \(x = 2\) do wzoru funkcji: $$q = f(2) = 2 \cdot (2)^2 - 8 \cdot 2 + 10 = 2 \cdot 4 - 16 + 10 = 8 - 16 + 10 = 2$$
4. Krok 4 (Wniosek):
   Wartość najmniejsza wynosi \(2\).

Odpowiedź: Tak, funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą 2.

---

Zadanie 21 (Grupa A)

Polecenie:

Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego \(f(x) = -3x^2 + 5x - 2\).

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Identyfikacja \(a, b, c\)):
   \(a = -3\), \(b = 5\), \(c = -2\).
2. Krok 2 (Zastosowanie wzoru na deltę): $$\Delta = b^2 - 4ac$$ $$\Delta = 5^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 25 - 24 = 1$$

Odpowiedź: Wyróżnik trójmianu wynosi \(\Delta = 1\).

---

Zadanie 22 (Grupa A)

Polecenie:

Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4\).

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wyznaczenie współczynników):
   \(a = \frac{1}{2}\), \(b = -3\), \(c = 4\).
2. Krok 2 (Obliczenie \(\Delta\)): $$\Delta = b^2 - 4ac$$ $$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 9 - 8 = 1$$

Odpowiedź: Wyróżnik trójmianu wynosi \(\Delta = 1\).

---

Zadanie 23 (Grupa A)

Polecenie:

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(f(x) = 2x^2 - 8x + 5\).

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wyznaczenie współczynników):
   \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 5\).
2. Krok 2 (Obliczenie pierwszej współrzędnej \(p\)): $$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$
3. Krok 3 (Obliczenie drugiej współrzędnej \(q\)):
   Obliczamy wartość funkcji dla \(x = p = 2\): $$q = f(2) = 2 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 5 = 2 \cdot 4 - 16 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$$

Odpowiedź: Współrzędne wierzchołka to \(W = (2, -3)\).

---

Zadanie 56 (Grupa A)

Polecenie:

Przedstaw funkcję kwadratową \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Współczynniki):
   \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -3\).
2. Krok 2 (Obliczenie \(p\) oraz \(q\)): $$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2$$ $$q = f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$$
3. Krok 3 (Zapis postaci kanonicznej):
   Podstawiamy \(a = -1\), \(p = 2\), \(q = 1\) do wzoru \(f(x) = a(x - p)^2 + q\): $$f(x) = -(x - 2)^2 + 1$$

Odpowiedź: Postać kanoniczna to \(f(x) = -(x - 2)^2 + 1\).

---

Zadanie 59 (Grupa A)

Polecenie:

Przedstaw funkcję kwadratową \(f(x) = 2(x + 1)^2 - 8\) w postaci ogólnej.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Rozwinięcie kwadratu sumy):
   Stosujemy wzór \((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\): $$f(x) = 2(x^2 + 2x + 1) - 8$$
2. Krok 2 (Mnożenie przez 2 i redukcja): $$f(x) = 2x^2 + 4x + 2 - 8 = 2x^2 + 4x - 6$$

Odpowiedź: Postać ogólna to \(f(x) = 2x^2 + 4x - 6\).

---

Zadanie 73 (Grupa A)

Polecenie:

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli \(y = -3x^2 + 12x - 7\) oraz równanie jej osi symetrii.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Krok 1 (Wyznaczenie \(p\)):
   \(a = -3\), \(b = 12\), \(c = -7\). $$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{-6} = 2$$
2. Krok 2 (Wyznaczenie \(q\)): $$q = f(2) = -3 \cdot (2)^2 + 12 \cdot 2 - 7 = -3 \cdot 4 + 24 - 7 = -12 + 24 - 7 = 5$$ Wierzchołek ma współrzędne \(W = (2, 5)\).
3. Krok 3 (Wyznaczenie osi symetrii):
   Oś symetrii paraboli to prosta pionowa przechodząca przez pierwszą współrzędną wierzchołka \(x = p\).
   Równanie osi symetrii: \(x = 2\).

Jak zdać kartkówkę? Porady i schematy

Matematyka na sprawdzianach i kartkówkach opiera się na schematach i zasadach, a nie na uczeniu się zadań na pamięć. Jeśli opanujesz te trzy tematy w sposób, w jaki je przeanalizowaliśmy, poradzi sobie z każdym nowym zadaniem, ponieważ każde z nich będzie wymagało dokładnie tych samych kroków.

---

1. Rozumienie wzorów, a nie pamiętanie wyników

Na kartkówce zmienią się tylko liczby. Jeżeli pamiętasz zasady:

• Punkt \((x, y)\) należy do wykresu? \(\rightarrow\) Zawsze podstawiasz \(x\) za argument, a \(y\) za wynik funkcji (\(f(x)\)). [Podstawiasz liczby w miejsce x i y i sprawdzasz czy lewa strona równa się prawej]
• Przesunięcie o \(p\) w poziomie? \(\rightarrow\) Wstawiasz \((x - p)\) w miejsce \(x\) (pamiętając, że znak w nawiasie jest „odwrotny”). [W lewo dajesz plus, w prawo dajesz minus]
• Przesunięcie o \(q\) w pionie? \(\rightarrow\) Dopisujesz \(+q\) na końcu wzoru. [W górę dajesz plus, w dół dajesz minus]
• Szukasz wierzchołka z postaci ogólnej? \(\rightarrow\) Zawsze używasz \(p = -\frac{b}{2a}\) oraz obliczasz \(q = f(p)\).

---

2. Typy zadań, które MOŻNA stworzyć na kartkówce (i jak na nie zareagować):

1. Zadanie z „nieznaną” literką (np. \(k\) lub \(m\) zamiast liczby):
   • Przykład: „Dla jakiego \(m\) punkt \(P(2, 8)\) należy do \(f(x)=mx^2\)?”
   • Reakcja: Robisz dokładnie to samo — podstawiasz \(x=2\) i \(y=8\), po czym rozwiązujesz proste równanie.
2. Pytanie o monotoniczność lub zbiór wartości:
   • Reakcja: Zawsze patrzysz na dwie rzeczy:
     1. Znak liczby \(a\) (czy ramiona idą w górę \(a>0\), czy w dół \(a<0\)).
     2. Współrzędne wierzchołka \(W=(p,q)\).
   • Jeśli ramiona idą w górę (\(a>0\)), funkcja maleje do \(p\), rośnie od \(p\), a jej zbiór wartości to \(\langle q, \infty)\).
3. Przejście z jednej postaci do drugiej:
   • Z kanonicznej na ogólną: Używasz wzoru skróconego mnożenia na \((x \pm p)^2\), mnożysz przez \(a\) i redukujesz liczby na końcu.
   • Z ogólnej na kanoniczną: Liczysz \(p = -\frac{b}{2a}\), potem \(q\), i wstawiasz do \(y = a(x - p)^2 + q\).

---

Dwie rady, które zagwarantują Ci dobrą ocenę:

1. Zrób parę zadań samodzielnie bez patrzenia w odpowiedzi: Przykryj kartką rozwiązania, które napisaliśmy wyżej, i spróbuj przeliczyć 3–4 zadania samodzielnie od początku do końca.
2. Uważaj na znaki (minusy): Najwięcej błędów na kartkówkach wynika z podnoszenia ujemnych liczb do kwadratu (np. \((-3)^2 = 9\), a nie \(-9\)) oraz z minusa we wzorze na przesunięcie w prawo/lewo.